Свойства делимости

(По методичке)

1) a⁞a, если а≠0 (рефлексивность). Действительно, а=а* 1.

2)Если a⁞b и b⁞c, то a⁞c (транзитивность).

Доказательство. а = bq, b = c где q, -целые числа. Откуда а = c (q, )

3)Если а ≠ 0,то 0 ⁞a.

4)Если а ≠ 0 и a⁞b, то .

Доказательство, а = bq, q€Z. Так как q ≠0, то N, следовательно, . Умножим обе части неравенства на положительное число , получим: то есть .

5)Если 1⁞b, то b =± 1 (следует из свойства 4).

6)Если a⁞b и b⁞a, то а=±b.

Доказательство. a=bq, b= a где q, -целые числа. а=a (q, откуда q, , q = ±1 и а = ±b.

7) a⁞1 для любого целого а.

8)Если a⁞c и b⁞c, то (a±b)⁞c.

Доказательство, a=cq, b= c , где q, -целые числа. а±b = c(q ± .

9)Если а⁞с и b€Z, то ab⁞c.

10)Если ⁞с и Z, то (следует из свойств 9,8).

11)Если (a+b)⁞c и b⁞с, то а⁞с.

12)Если (a+b)⁞c и b не ⁞с, то а не⁞с.

13)Если а⁞с и b⁞d, то (ab)⁞cd.

14)Если а⁞с и b€N, то ab⁞cb.

15). Если аb⁞сb, то а⁞с.

16). Если а:b, то ±а⁞(±b).