Способы практической реализации собственно случайной выборки

Отбор производится с помощью жеребьевки, таблицы (либо генератора) случайных чисел. Главный принцип - случайность, т.е. все единицы генеральной совокупности имеют равную вероятность попасть в выборочную совокупность.

1. Принцип жеребьевки (лотерейный метод). Каждый элемент генеральной совокупности
заносится на бумажку (это могут быть фамилии, адреса, просто номера (в этом случае
выпавшие номера ставят в соответствие с людьми в списках) и т.д.), затем бумажки
помещаются в барабан, перемешиваются и не глядя вытаскиваются.

2. Принцип таблицы случайных чисел. Начиная с любого места таблицы, берем четыре
следующих друг за другом числа. Эти числа и будут номерами людей в списке, которых
следует отобрать в выборку (числа, превышающие численность генеральной совокупности,
опускаются).

3. Принцип генератора случайных чисел. Это то же самое, что и таблицы случайных чисел,
только числа вырабатываются компьютером (для этого существует специальная
программа).

Различают повторную и бесповторную выборку. При повторном отборе каждый выбранный элемент возвращается в ГС. При бесповторном отборе выбранный элемент не возвращается в ГС².

Также используются различные методы моделирования случайности.

1. Механическая выборка требует список характеристик респондентов (фамилии, адреса,
телефоны и т.д.). Из этого списка через равные промежутки люди отбираются в
выборку. Этот промежуток называется шагом выборки.

шаг = — [3, 19]. п

Начало отбора выбирается случайным образом в пределах шага выборки. Например, если шаг выборки равен 20, то начинать отбор надо с любого числа от 1 до 20.

2. Территориальный отбор используется, когда нет основы выборки или ее составление
сопряжено с большими трудностями.

² Следует заметить, что бесповторный отбор не отвечает принципу случайности. Это нарушение тем существеннее, чем меньше ГС. Однако на практике как правило применяется бесповторный отбор.

Приведем это распределение к стандартному виду.

х-Х

z =-----------

°"; х = z-a_x +X

dx = a--dz Произведем замену переменной:

-² 0 z¹ - -²

Р(\х-Х <А) = —_Г = \e-dz = —= \e~^dz + ~L₌\i²dz = 2-<b(z).

•Jl-TI _. ^1-П _' ^1-П о

Справа получили функцию Лапласа, которая табулирована (см. Приложение):

<D(z) = -=L= \e~² dz. у/2^ S

Р" -A = z.^=z.y-

Нам не известно значение сг, поэтому заменим его на s. Но в этом случае нужно использовать не нормальное распределение, а распределение Стьюдента.

A =,.f, ' V и

₂ " (х,-Л²

где 5 = 2,---------- —

,=i л-1

При больших объемах выборки вид распределения Стьюдента приближается к виду
нормального распределения, поэтому для больших выборок также можно использовать функцию
Лапласа. -

Для повторной выборки

I 2

А = /. J— (1). V п

Для бесповторной выборки необходимо внести поправку на конечность ГС

L²-₍i-^

I х А Г

A = '-J---------- ^(2).

V п

Для большой ГС (объем ВС составляет менее 5% от ГС) поправкой на конечность совокупности можно пренебречь.

Про коэффициент доверия z следует сказать отдельно. Этот коэффициент исследователь выбирает сам. Чем меньше z, тем меньше доверительный интервал, но тем меньше и вероятность того, что оценка не выйдет за пределы доверительного интервала.

Пример 1. Пусть была произведена выборка 1600 человек. Средний возраст по выборке -30 лет, среднеквадратическое отклонение — 10 лет. Необходимо найти доверительный интервал.

Прежде всего, необходимо задать надежность оценки. Возьмем 95% надежность. Поскольку выборка большая, воспользуемся таблицей значений функции Лапласа и найдем коэффициент доверия z - 1.96.

Тогда

Л = 1,96-J^—=0,49. V1600

С вероятностью 95% истинное средний возраст по ГС находится в интервале от 29,51 лет до 30,49 лет.

Для биномиального распределения

s² =p-q,