Свойства скалярного произведения

1 ° коммутативность: a • b = b •· a.

a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.

2° условие перпендикулярности: a • b= 0, т.к. a _┴ b или a или b= 0.

1. a _┴ b, φ= 90°, cos 90°= 0, a • b= │a│·│b│·0= 0.

2. a= 0, │a│= 0, a • b= 0 ·│b│· cos φ= 0.

3° (λa)•b= λ(a•b).

(λa)•b= │λa│·│b│· cos φ=λ│a│·│b│· cos φ= λ(a•b).

4° a•(b + c)= a•b + a•c.

a•(b + c)= │a│· (b + c)= │a│·(пр_а b + пр_а c)= │a│·пр_а b +│a│· пр_а c=

= a•b + a•c.

5° скалярный квадрат: а • а= │a│².

а • а=│a│·│а│· cos 0°=│a│².

Следствие: .

Скалярное произведение координатных ортов.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);

i × i=│i│² = 1²=1;

j × j=│j│² = 1²=1;

k × k=│k│² = 1²=1.

Скалярное произведение в координатной форме.