Исследование устойчивости нелинейных систем. Второй метод Ляпунова

Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце 19-го века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

(10.3.1)

,получивший в дальнейшем название второго или прямого метода Ляпунова.

Прежде чем давать точные формулировки, кратко рассмотрим идею метода.

Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя где i=1,2,… n системы (10.3.1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то очевидно, рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой.

Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы уравнений (10.3.1). Действительно, если r - расстояние от точки траектории до начала координат, то

и

(10.3.2)

Правая часть в (10.3.2) является известной функцией времени и координат процесса и, следовательно, можно исследовать ее знак. Если окажется, что , то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании времени и точка покоя устойчива.

Вместо обычно вычисляют для упрощения дифференцирования производную знак которой совпадает с .

Однако точка покоя может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней точек траектории с возрастанием времени. Для того, чтобы убедиться в этом достаточно взглянуть на траектории типа центра или устойчивого фокуса, рассмотренные при изучении метода фазовых портретов. Поэтому вместо функций r А.М. Ляпунов рассматривал некоторые функции V(t,x_1,x₂,...,x_n), являющиеся в некотором смысле «обобщенными расстояниями» до начала координат. Каждая V - функция определена в некоторой области G, заданной неравенством

<L,где L -некоторая постоянная величина.

Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится к построению таких функций V векторной переменной X(x₁,...,x_n), полные производные которых по времени, вычисленные согласно (10.3.1), обладают некоторыми специфическими свойствами.

Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений, принимает всюду в области G значения только одного знака.

Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и учитывая ее знак- определенно положительной или определенно отрицательной.

Наряду с функциями V будем рассматривать их полные производные по времени

. (10.3.2)

Ляпуновым были доказаны следующие две фундаментальные теоремы:

Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная (10.3.2) которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная (3) которой в силу этих уравнений была бы функцией знакоопределенной противоположного с V знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Функции V, удовлетворяющие условиям этих теорем, называются функциями Ляпунова.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя cистемы

Выберем функцию Ляпунова в виде V=7x²+3y². Эта функция является знакопостоянной. Ее производная

.
Условия теоремы 1 выполнены, следовательно точка покоя устойчива.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

, >0.

Функцию Ляпунова выберем в виде V=x²+ky². Найдем производную:

2x[a(t)x+kb(t)y]+2ky[-b(t)x+c(t)y]=2[a(t)x²+kc(t)y²]<=0.

Выполнены условия теоремы 2,следовательно, рассматриваемая точка покоя асимптотически устойчива.

Трудность применения прямого метода Ляпунова к решению прикладных задач связана с отсуствием широко разработанных общих приемов построения функций Ляпунова в тех или иных случаях. Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем автоматического управления (САУ) находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм

(10.3.3)

В матричной форме можно записать ,где .

Квадратичная форма, представленная в виде (10.3.3) или соответствующей ей матрицы Р является знакопостоянной- положительно определенной, если >0, отрицательно определенной, если <0, или знакоопределенной- знакоположительной, если и знакоотрицательной, если

Укажем признаки, по которым можно проверить, - какое из указанных выше свойств имеет изучаемая квадратичная форма или соответствующая ей матрица. Найдем собственные числа матрицы Р - _i, решив известное уравнение det( I-P)=0, где I -единичная матрица. Если все собственные числа рассматриваемой матрицы строго больше нуля, то квадратичная форма определенно положительная, если все собственные числа строго отрицательны, то квадратичная форма определенно отрицательная. При l_i 0 квадратичная форма знакоположительна, а при l_i 0 -знакоотрицательна.

Сформулируем еще один признак определенной положительности квадратичной формы, известный как критерий Сильвестра.

Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы каждый из угловых (диагональных) миноров

D_к = ,

k=1,2,…..n.

матрицы Р был положителен.

Если задача о построении функций Ляпунова для какого-либо класса систем решена, то прямой метод можно рассматривать как наиболее эффективный метод исследования устойчивости. Его особенная ценность проявляется в тех случаях, когда интересуются исследованием устойчивости в большом, т.е. при любых конечных отклонениях. Кроме того, этот метод может применятся к изучению устойчивости тех систем управления, которые содержат существенно нелинейные и неаналитические (разрывные) характеристики. Во всех этих случаях возможность применения метода первого приближения исключена.

Следует помнить, что если какая-либо задача об устойчивости в теории управления может быть решена прямым методом, то это решение не будет однозначным. Действительно, функции Ляпунова определены столь общими свойствами, что их может быть построено бесчисленное множество. Следовательно, условия устойчивости, к которым приводит прямой метод, являются условиями достаточными и их нарушение еще не будет означать неустойчивости системы. Мы уже говорили о том, что свобода выбора функций Ляпунова позволяет строить критерии устойчивости систем, в которых некоторые нелинейные элементы не могут быть точно охарактеризованы. Любой другой известный метод исследования устойчивости не дает возможности решить задачу об устойчивости в большом в этом случае. Но полученное решение, в силу указанной многозначности функций Ляпунова и отсутствия условия необходимости, может оказаться неконструктивным, т.е. таким, которое предъявляет чрезмерно высокие требования к параметрам регулятора, реализовать которые практически невозможно.

Вопрос о конструктивности решений задачи прямым методом в каждом конкретном случае следует подвергать особому рассмотрению.