Критерий Бендиксона

В ряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фазовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, который наиболее прост для практического применения.

Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка

где F₁(y₁,y₂), F₂ (y₁,y₂)- нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.

Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой плоскости выражение ∂F₁/∂y₁+∂F₂/∂y₂знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий.

В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, например, функции F₁(y₁,y₂), F₂ (y₁,y₂)-не являются аналитическими, применяются другие методы для определения автоколебательных режимов.

Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий пример на использование критерия Бендиксона.

Пример 10.2.2 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химическая реакция типа A → 2B, описывается следующими уравнениями

где y₁,y₂ - текущие концентрации реагентов в реакторе;y₁₀,y₂₀- начальные входные концентрации реагентов; λ - расход; t - время.

Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя критерий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение

Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом у₁≥0,y₂≥0 т.е. концентрации не могут быть отрицательными, а также λ>0, последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе - химическом реакторе автоколебания существовать не могут.

Метод точечного преобразования

Y1

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем. Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, например Oy₁(рис. 10.2.17).

В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке M₁ с координатой y¹₁. При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полуось, но уже в точке M₂ с координатой y²₁

Рисунок 10.2.17 - Отдельная фазовая траектория

Через каждую точку полуоси Oy₁ проходит лишь одна фазовая траектория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат соответствует переход произвольной точки полупрямой Oy₁(точки M₁) в другую точку этой же полупрямой (точку M₂). Иначе говоря, обходу фазовой траектории вокруг начала координат соответствует точечное преобразование полупрямой Oy₁ в саму себя. Очевидно, что положение точки M₂ зависит от M₁, т.е.

y²₁= f (y¹₁) (10.2.1)

где через y¹₁ и y²₁ обозначены абсциссы точек M₁ и M₂

Функция y²₁= f (y¹₁) называется функцией последования.

В некоторых случаях эту функцию (10.2.1) удается получить аналитически из исходного дифференциального уравнения системы.

Если при любом y¹₁ получается, что y²₁ < y¹₁, то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая траектория - спираль, навивающаяся на начало координат; если y²₁ > y¹₁, то процесс в системе будет расходящимся.

При y²₁ =y¹₁ на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному режиму в системе. Представим функцию последования f (y¹₁) графически (рис. 10.2.18).

Рисунок 10.2.18 - Функция последования

На этот график наносится прямая y²₁ =y¹₁ .Анализируя взаиморасположение кривой f (y¹₁) и прямой y²₁ =y¹₁, легко видеть, что если при некотором y^*₁ выполняется равенство y²₁ =y¹₁ = y^*₁, т.е. f (y¹₁) пересекает прямую y²₁ =y¹₁ , то через точку y^*₁ проходит замкнутая фазовая траектория.

Рассматривая взаиморасположение кривой f (y¹₁) и прямой y²₁ =y¹₁ можно также ответить на вопрос, будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке M на некоторой фазовой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой y²₁.

Далее y²₁ преобразуется в y³₁, y³₁- в y⁴₁ и т.д. (рис. 10.2.18).

Для других начальных условий: абсцисса точки , также строится "лестница" движения от этой точки (рис. 10.2.18), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвижной" точки y₁* приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устойчивый предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям в системе. Величина определяет амплитуду автоколебаний.

Различные случаи точечного преобразования и соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 10.2.19. На рис. 10.2.19, а представлена функция последования для системы, имеющей два предельных цикла, из которых один устойчив, а другой неустойчив. Функция последования для системы с полуустойчивым предельным циклом изображена на рис. 10.2.19 б.

Рис. 10.2.19 - Варианты точечного преобразования:

а - наличие устойчивого и неустойчивого предельных циклов; б- наличие полуустойчивого предельного цикла