Выделение области устойчивости. Д-разбиение в плоскости одного и двух параметров

Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.

Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D – областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением.

Построение области устойчивости по алгебраическим критериям

Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения

зависят от двух изменяемых параметров m и l. Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений

(6.3.1)

Для построения границы положительности коэффициентов а_i необходимо из решений уравнений (6.3.1) выбрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могут быть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которых являются

(6.3.2)

Доказано, что если d₀ и d_n приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два действительных корня

(6.3.3)

При дальнейшем уменьшении коэффициенты d₀ и d_n перейдут через ноль, станут отрицательными, а корни (6.3.3) окажутся положительными. Так как вещественные корни определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы (6.3.2) называют апериодическими границами устойчивости. На самих границах устойчивости корни (6.3.3) равны соответственно ±¥ и 0. Стороны кривых, d_i(m,l)=0, примыкающие к области положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторону положительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d₀ или d_n не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствие соответствующей апериодической границы устойчивости.

Колебательной границей устойчивости называется кривая в плоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно – сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный. Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением

(6.3.4)

В этом выражении D_n-1 – (n-1) – й определитель Гурвица. Колебательная граница устойчивости штрихуется в сторону положительности D_n-1.

Пример 6.3.1. Построить область устойчивости в плоскости параметров k_u и k_wz системы стабилизации угла тангажа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Исследуем неравенства d₂>0, d₃>0, d₄>0. Из первого неравенства следует, что для положительности коэффициента d₂ необходимо, чтобы выполнялось условие

Неравенство d₄>0 определяет, что для положительности этого коэффициента необходимо, чтобы k_u>0. Для выполнения неравенства d₃>0 требуется, чтобы

При любых значениях передаточного числа по углу больших нуля, правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Таким образом, границами положительности коэффициентов будут

От изменяемых параметров зависит коэффициент d_n=d₄ и не зависит коэффициент d₀. Поэтому уравнение k_u=0 одновременно является и апериодической границей устойчивости.

Составив определитель Гурвица, для его D_n-1 минора получим

Подставим в это выражение значения коэффициентов d₂, d₃, d₄, как функций параметров k_u и k_w, после преобразований получим квадратное уравнение, определяющее передаточное число по угловой скорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа

По этому выражению строится колебательная граница устойчивости. График деления области исследуемых параметров на области устойчивости и неустойчивости показан на рис. 6.3.1.

Рисунок 6.3.1 - Область устойчивости системы стабилизации угла тангажа

Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторону положительности D_n-1- го определителя Гурвица, а прямая k_wz=0 в сторону положительности этого коэффициента. Для проверки полученных результатов выберем какие – либо значения параметров внутри заштрихованной области, например k_u=5, k_wz=0.6, вычислим значения коэффициентов характеристического уравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица. Получим, что при выбранных значениях передаточных чисел система устойчива. Это означает, что и вся область, внутрь которой обращены штрихи, является областью устойчивости.