Логарифмическая форма критерия Найквиста

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать также логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная фазовый сдвиг не достигал значения или достигал его четное число раз (рис. 6.2.17).

Рисунок 6.2.17 - Логарифмические частотные характеристики, иллюстрирующие критерий Найквиста

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в нуль значение фазовой частотной характеристики равно

Пример 4.7

Проверить с помощью критерия Найквиста устойчивость системы фазовой автоподстройки частоты, упрощенная структурная схема которой приведена на рис. 6.2.18 [7, 13].

Рисунок 6.2.18 - Структурная схема системы фазовой
автоподстройки частоты

Здесь ПГ – подстраиваемый генератор, частоту которого нужно стабилизировать; ФНЧ – фильтр нижних частот; ФД – фазовый детектор; – эталонная частота; – разность фаз. Параметры передаточных функций соответствующих устройств следующие: с, с, с, с^-1.

Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы

.

Подставляя вместо параметров их численные значения, получим

.

Перейдем теперь к частотной характеристике

или

.

Запишем теперь выражения для амплитудно-частотной

и фазовой частотной характеристик

.

В логарифмическом масштабе амплитудно-частотная характеристика имеет вид

На рис. 6.2.19 представлены логарифмические амплитудно-частотная и фазовая частотная характеристики разомкнутой системы.

Рисунок 6.2.19 Логарифмические характеристики разомкнутой системы

Поскольку логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пересекает ось абсцисс позже, чем фазовая частотная характеристика достигает значения , то замкнутая система будет неустойчива.

Пример 6.2.2 Построить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасы устойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углу тангажа.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:

Следовательно, После преобразований получим

где

Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.

Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиления разомкнутой системы равен Так как относительный показатель затухания мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частоты сопряжения w₀₃. Это можно сделать как по специальным графикам, так и расчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением

Рисунок 6.2.20 - ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа

Подставив несколько значений частоты в окрестности частоты сопряжения w₀₃, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции

где

Из графиков ЛЧХ следует, что w_с<w_p и, следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе g=108⁰. Для систем, в которые входят колебательные звенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости по модулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен» 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученные значения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанных в соответствии с критериями Гурвица и Михайлова. В исследуемом случае критический коэффициент усиления определяется при касании L(w_р) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобы в точке w=w_р она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до пересечения с осью частот. В этой точке k=w=7.244, что соответствует значению (k_u)_кр=16.74.