Передаточные функции САУ. Преобразования Лапласа

Понятие передаточной функции системы является основополагающим в классической теории автоматического управления (ТАУ), к изучению основ которой мы и приступаем.

Определение передаточной функции связано с преобразование Лапласа и поэтому вначале приведем некоторые основные сведения из этого преобразования.

При использовании преобразования Лапласа некоторой функции времени x(t) ставится в однозначное соответствие функция X(s), где s- оператор Лапласа. Функция времени x(t) называется оригиналом, а функция X(s) ее изображением. Изображение и оригинал связаны соотношением

Приведем некоторые теоремы преобразования Лапласа, которые будут использованы при изложении курса.

Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных

(2.1.8)

Знак Þ означает соответствие изображения оригиналу.

Теорема запаздывания. Для любого постоянного t > 0

(2.1.9)

Теорема дифференцирования оригинала. Если то

(2.1.10)

Применив эту теорему к производным высших порядков, получим

(2.1.11)

При нулевых начальных условиях выражение (2.1.11) упрощается

(2.1.12)

Теорема интегрирования оригинала. Если и

то

(2.1.13)

Теорема о начальном значении оригинала.

(2.1.14)

Теорема о конечном значении оригинала.

(2.1.15)

Перейдем к определению передаточной функции. Пусть система или какое-либо звено ее описываются дифференциальным уравнением вида (2.1.10). Полагая начальные условия нулевыми, перейдем в этом уравнении к изображениям по Лапласу. В соответствии с теоремой 3 получим

.

Вынесем в полученном выражении за скобки изображения переменной и входного воздействия и сделаем обозначения

С учетом этих обозначений исходное дифференциальное уравнение в изображениях по Лапласу получит вид

(2.1.16)

Определим теперь зависимость выходной величины от входного воздействия

(2.1.17)