Составление математической модели

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных . Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных . Размерность возмущающих воздействий M может быть произвольной и никак не связана с размерностью y, x, u.

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой – быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Пример 2.1.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1.1), записать для нее уравнения состояния.

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Рис. 2.1.1. Эквивалентная схема объекта

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. , управляющим воздействием – напряжение на ее входе , а переменной состояния – ток, протекающий по цепи . С учетом введенных обозначений запишем исходные уравнения объекта в следующем виде:

а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

где