Общее решение неоднородной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему . Соответствующая ей однородная система называется приведенной системой уравнений.

Решения неоднородной и приведенной систем связаны следующим образом. Сумма любого решения неоднородной системы и любого решения приведенной системы является решением неоднородной системы. Разность двух произвольных решений неоднородной системы есть решение приведенной системы. Поэтому общее решение неоднородной системы можно получить, прибавляя к любому ее частному решению общее решение приведенной системы

.

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

Выделим базисную систему уравнений, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

.

Так как , то система совместна. Базисная система уравнений

.

Найдем теперь частное решение неоднородной системы. Примем за главное, а за свободные неизвестные. Положим . Тогда частное решение

.

Соответствующая приведенная система имеет вид

.

Для нахождения фундаментальной системы решений зададим значения свободных неизвестных

Тогда фундаментальные решения приведенной системы

.

Откуда общее решение неоднородной системы

.

Пример 2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :

Исследование начинаем с проверки системы на совместность. Так как система является квадратной, то по теореме Крамера при она совместна и имеет единственное решение. Для значений , при которых необходимы дополнительные исследования. Вычислим

.

Если , то и решение системы находим по формулам Крамера

.

Пусть . Тогда расширенная матрица системы

.

Очевидно, что и система совместна. Базисная система уравнений

.

Решая эту систему так же как в примере 1, получим общее решение

,

где произвольные постоянные.

Пусть . Преобразуем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

.

По виду первой строки ступенчатой матрицы определяем, что система несовместна.

Задачи

Исследовать системы уравнений и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. Система

имеет единственное решение. Доказать, что b и найти решение системы.

Литература

1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.

2. Ефимов Н. В., Розендрон Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.

3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.