Метод Данилевського

Квадратну матрицю Р порядку m називають подібною до матриці А, якщо її можна подати у вигляді

Р = S ^-1 АS,

де S – невироджена матриця порядку m.

Виконується наступна теорема: характеристичні визначники вихідної та подібної матриці збігаються.

Ідея методу Данилевського полягає у тому, що матрицю А подібним перетворенням зводять до так званої нормальної форми Фробеніюса.

Можна перевірити, що характеристичне рівняння для матриці Р набуває простого вигляду:

тобто коефіцієнти при степенях λ характеристичного поліному безпосередньо виражаються через елементи першого рядка матриці Р.

Зведення матриці А до нормальної форми Фробеніюса Р здійснюється послідовно по рядках, починаючи з останнього рядка. Це робиться за допомогою ітеративного процесу, який виражається у вигляді:

,

(3)

де

,

.

Тут – відповідні елементи матриці А^(і), індекс і = 1… m -1, А ⁽¹⁾ = А, елемент ≠0.

Таким чином, нормальну форму Фробеніюса буде одержано за (m -1) крок і вона набуде вигляду

.

Якщо ж умова ≠0 не виконується на якомусь кроці і = k, то можливі два випадки. У першому випадку у (m-k+ 1)-рядку лівіше елемента є елемент , де l < m-k. Тоді ми можемо переставити місцями (m-k)- та l -рядки та стовпці одночасно. Отже, на потрібному нам місці одержуємо ненульовий елемент , вже перетворена частина матриці не змінюється і можна застосовувати звичайний крок методу Данилевського.

Розглянемо другий випадок, коли =0 і всі елементи цього рядка лівіше нього теж дорівнюють нулю. У цьому разі характеристичний визначник матриці А ^(k) можна подати у вигляді

,

де Е_m–k та Е_k – одиничні матриці відповідної вимірності, а квадратні матриці В ^(k) та С ^(k) мають вигляд:

.

Звернімо увагу на те, що матриця С ^(k) вже має нормальну форму Фробеніюса, і тому співмножник просто розгортаємо у вигляді багаточлена з коефіцієнтами, що дорівнюють елементам першого рядка.

Співмножник є характеристичним визначником матриці В ^(k). Для його розгортання можна знову застосувати метод Данилевського, зводячи матрицю В ^(k) подібними перетвореннями до нормальної форми Фробеніюса.

Припустимо тепер, що матрицю А подібними перетвореннями Р = S ^-1 АS вже зведено до нормальної форми Фробеніюса. Розв’язуючи характеристичне рівняння

,

знаходимо одним з відомих методів його корені λ_і, і = 1,…, m, які є власними значеннями матриць Р та А.

Тепер маємо задачу знайти власні вектори, які відповідають цим власним значенням, тобто вектори х ^(і), і = 1,…, m, такі що

.

Для цього спочатку знайдемо власні вектори для матриці Р. Нехай це будуть вектори y ^(і). Тоді х ^(і) = Sy ^(і), де .

Для знаходження власних векторів Р, запишемо рівність у розгорнутій формі

, або .

У цій системі одна із змінних може бути вільною і може набути довільного значення. Як таку візьмемо і покладемо = 1. Тоді послідовно отримуємо:

.

А звідси вже отримуємо за виразом х ^(і) = Sy ^(і) значення власного вектору х ^(і) для матриці А.