Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Метод Данилевського



Квадратну матрицю Р порядку m називають подібною до матриці А, якщо її можна подати у вигляді

Р = S -1 АS,

де S – невироджена матриця порядку m.

Виконується наступна теорема: характеристичні визначники вихідної та подібної матриці збігаються.

Ідея методу Данилевського полягає у тому, що матрицю А подібним перетворенням зводять до так званої нормальної форми Фробеніюса.

Можна перевірити, що характеристичне рівняння для матриці Р набуває простого вигляду:

тобто коефіцієнти при степенях λ характеристичного поліному безпосередньо виражаються через елементи першого рядка матриці Р.

Зведення матриці А до нормальної форми Фробеніюса Р здійснюється послідовно по рядках, починаючи з останнього рядка. Це робиться за допомогою ітеративного процесу, який виражається у вигляді:

, (3)

де

,

.

Тут – відповідні елементи матриці А(і), індекс і = 1… m -1, А (1) = А, елемент ≠0.

Таким чином, нормальну форму Фробеніюса буде одержано за (m -1) крок і вона набуде вигляду

.

Якщо ж умова ≠0 не виконується на якомусь кроці і = k, то можливі два випадки. У першому випадку у (m-k+ 1)-рядку лівіше елемента є елемент , де l < m-k. Тоді ми можемо переставити місцями (m-k)- та l -рядки та стовпці одночасно. Отже, на потрібному нам місці одержуємо ненульовий елемент , вже перетворена частина матриці не змінюється і можна застосовувати звичайний крок методу Данилевського.

Розглянемо другий випадок, коли =0 і всі елементи цього рядка лівіше нього теж дорівнюють нулю. У цьому разі характеристичний визначник матриці А (k) можна подати у вигляді

,

де Еm–k та Еk – одиничні матриці відповідної вимірності, а квадратні матриці В (k) та С (k) мають вигляд:

.

Звернімо увагу на те, що матриця С (k) вже має нормальну форму Фробеніюса, і тому співмножник просто розгортаємо у вигляді багаточлена з коефіцієнтами, що дорівнюють елементам першого рядка.

Співмножник є характеристичним визначником матриці В (k). Для його розгортання можна знову застосувати метод Данилевського, зводячи матрицю В (k) подібними перетвореннями до нормальної форми Фробеніюса.

Припустимо тепер, що матрицю А подібними перетвореннями Р = S -1 АS вже зведено до нормальної форми Фробеніюса. Розв’язуючи характеристичне рівняння

,

знаходимо одним з відомих методів його корені λі, і = 1,…, m, які є власними значеннями матриць Р та А.

Тепер маємо задачу знайти власні вектори, які відповідають цим власним значенням, тобто вектори х (і), і = 1,…, m, такі що

.

Для цього спочатку знайдемо власні вектори для матриці Р. Нехай це будуть вектори y (і). Тоді х (і) = Sy (і), де .

Для знаходження власних векторів Р, запишемо рівність у розгорнутій формі

, або .

У цій системі одна із змінних може бути вільною і може набути довільного значення. Як таку візьмемо і покладемо = 1. Тоді послідовно отримуємо:

.

А звідси вже отримуємо за виразом х (і) = Sy (і) значення власного вектору х (і) для матриці А.





Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 917 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...