Решение. T1 = 300 K, Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на P1/P2 = n = 2,0, , – диаграмме (см

T ₁ = 300 K, Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на P ₁/ P ₂ = n = 2,0, , – диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из перво- ν = 2. го начала термодинамики

Q =? Q = Δ U + A, (1)

где – работа газа; – приращение внутренней энергии газа. В данной задаче работа совершается только при изобарном расширении (на рис. 20 изобара 2 – 3). На участке 1 – 2 (изохора) объем не изменяется и работа = 0. Следовательно, в данном процессе работа А = А ₂₃ = P ₂ Δ V. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф) к состояни-

V 1

V 2

P 1, V 1, T 1

P 2, V 1, T 2

V

Рис. 20

1

3

2

P 2, V 2, T 1

Р

Р 2

Р 1

ям 2 и 3 (см. рис), получим формулу работы при изобарном процессе:

A = ν R Δ T = ν R (T ₃ – T ₂), (2)

где по условию задачи Т ₃ = Т ₁. Температура находится из закона Шарля для изохорного процесса (1 – 2)

откуда, учитывая условие задачи,

Подставляя эту формулу в уравнение (2), найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии

где – число степеней свободы. В данном процессе начальная и конечная температура равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая (3), получим:

Пример 7. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а / Т, где – постоянная. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение .

ν = 1, i, V = a / T, Δ T. Q =?

Р е ш е н и е

Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (14Ф)

Q = Δ U + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль/.К) – универсальная газовая постоянная. Работа газа

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (3Ф) для одного моля газа

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а / Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 8. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

Рис. 21

адиабата

изотерма

Р е ш е н и е

m = 20,0 г = 20,0

Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем идеального газа в состояниях 1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (19Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней сво-боды = 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении . (R – универсальная газовая постоянная). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогда γ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (18Ф))

Учли, что молярная масса водорода (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (17Ф)

где = (см. рис. 21). Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Подставив числовые данные, получим . Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (14Ф)

В данном процессе = 0 и = ­ . С учетом (2) имеем

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно (см. (18Ф)),

Пример 9. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?