Краткие сведения из теории. 1.1 Нелинейная регрессия

1.1 Нелинейная регрессия

Связь между аргументом и функцией может иметь нелинейный характер. Аппроксимация кривой выполняется тем же путем с использованием метода наименьших квадратов, что и в случае прямой линии. Линия регрессии должна удовлетворять условию минимума суммы квадратов расстояний до каждой точки корреляционного поля. В данном случае в уравнении (2.1) y’_j представляет собой расчетное значение функции, определенное при помощи уравнения выбранной криволинейной связи по фактическим значениям х_j.

В общем случае нелинейной зависимости

.

По методу наименьших квадратов находим частные производные по коэффициентам регрессии и приравниваем их к нулю. Получаем систему уравнений:

Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит теоретическое корреляционное отношение h _xу, представляющее собой корень квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата s_р² отклонений расчетных значений y' _j функции по найденному уравнению регрессии от среднеарифметического значения Y величины y к среднему квадрату отклонений s _y ² фактических значений функции y_j от ее среднеарифметического значения:

.

1.2 Функции Scilab, необходимые при выполнении лабораторной работы

Для нахождения коэффициентов нелинейной регрессии, заданной в виде полинома n-ной степени ,целевая функция в Scilab записывается как zr = y-y(x), листинг которой выглядит следующим образом:

-->function [zr]=F(c,z)

-->zr=z(2)-c(1)-c(2)*z(1)-c(3)*z(1)^2-c(4)*z(1)^3…-с(n+1)* z(1)^(n)

-->endfunction

где z(2) – вектор y, z(1) – вектор x, c – вектор начальных коэффициентов a₀ искомой функции.

Коэффициенты линейной регрессии, а также сумма квадратов отклонений вычисляются с помощью функции datafit:

-->[a,S]=datafit(F,z,c)

Варианты исходных данных

Вариант 1

(1, 32.1); (1, 29.5); (1, 30.5); (2, 110.9); (2, 110.5); (3, 272.9); (3, 273.1); (3, 273.3); (4, 560.5); (5, 999.1); (5, 996.9); (6, 1627.3); (6, 1629.1); (6, 1630.1); (7, 2482.7); (8, 3597.1); (9, 5004.7); (9, 5006.7); (10, 6741.9); (10, 6743.5).

Вариант 2

(1, –49.2); (1, –49.0); (1, –50.0); (2, –110.7); (2, –110.3); (3, –210.0); (3, –208.8); (3, –208.0); (4, –349.3); (5, –541.6); (5, –543.2); (6, –799.3); (6, –801.3); (6, –800.9); (7, –1128.2); (8, –1542.7); (9, –2045.4); (9, –2045.8); (10, –2648.9); (10, –2651.9).

Вариант 3

(1, –7.1); (1, –6.3); (1, –5.3); (2, 32.2); (2, 29.8); (3, 111.5); (3, 111.1); (3, 112.9); (4, 244.8); (5, 442.5); (5, 442.5); (6, 712.8); (6, 713.8); (6, 715.2); (7, 1073.5); (8, 1525.4); (9, 2090.1); (9, 2088.5); (10, 2768.4); (10, 2768.6).

Вариант 4

(1, –33.1); (1, –33.3); (1, –32.5); (2, –103.4); (2, –104.4); (3, –215.9); (3, –212.7); (3, –215.1); (4, –364.6); (5, –551.9); (5, –552.7); (6, –779.4); (6, –780.6); (6, –781.6); (7, –1047.5); (8, –1353.8); (9, –1696.1); (9, –1695.5); (10, –2078.4); (10, –2081.2).

Вариант 5

(1, –2.6); (1, –3.0); (1, –4.6); (2, –49.0); (2, –50.4); (3, –132.0); (3, –132.6); (3, –132.0); (4, –262.0); (5, –445.6); (5, –445.6); (6, –696.2); (6, –696.6); (6, –698.6); (7, –1025.0); (8, –1438.4); (9, –1946.0); (9, –1944.6); (10, –2554.6); (10, –2554.4).

Вариант 6

(1, 1.7); (1, 3.3); (1, 2.7); (2, –54.9); (2, –53.9); (3, –216.3); (3, –216.9); (3, –216.7); (4, –525.3); (5, –1017.1); (5, –1017.1); (6, –1730.5); (6, –1729.7); (6, –1730.5); (7, –2710.9); (8, –3993.7); (9, –5619.3); (9, –5618.5); (10, –7625.7); (10, –7624.5).

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

– общий вид функции нелинейной регрессии, метод получения значений ее коэффициентов;

– вид и коэффициенты трех наиболее подходящих функций, их графики;

– последовательность команд для получения значения теоретического корреляционного отношения для каждой из трех функций и полученные значения;

– выводы на основе анализа полученных значений теоретического корреляционного отношения.