Краткие сведения из теории. Для нахождения суммы элементов вектора используется функция sum(<переменная-вектор>).

1.1 Нахождение суммы элементов вектора

Для нахождения суммы элементов вектора используется функция sum(<переменная-вектор>).

Например, найти , где x, y – векторные переменные:

-->sum(x.*x–y.*y)

1.2 Решение систем алгебраических уравнений

В среде Scilab можно выполнять символьные вычисления и преобразования, то есть формулировать задачу и получать решения не только в численной, но и в аналитической форме (например, символьное дифференцирование и интегрирование, упрощение математических выражений, получение решения систем уравнений в аналитической форме).

Для решения алгебраических уравнений и систем уравнений служит функция linsolve (матрица коэффициентов, вектор констант).

Например, решить систему уравнений:

-->A=[2 -3; -5 1]

-->B=[4;7]

-->S=linsolve(A,-B)

Ответ будет:

S = - 1.9230769

- 2.6153846

1.3 Применение метода наименьших квадратов для получения коэффициентов парной линейной регрессии

Регрессионным анализом называется метод построения модели на основе экспериментальных данных.

Применение регрессионного анализа для обработки результатов наблюдений позволяет получить теоретическую зависимость (регрессию) переменных состояния системы от ее параметров и входных воздействий.

Совокупность точек в пространстве, соответствующих экспериментальным данным (каждая из осей соответствует входному воздействию или параметру системы, одна из осей представляет собой отклик системы), называется корреляционным полем.

Различают парную и множественную регрессию.

Регрессия называется парной, если она представляет собой зависимость переменной y от единственной переменной x.

Регрессия называется множественной, если получена зависимость переменной y от нескольких переменных x₁, x₂, …,x_n.

Линейная регрессия ищется в виде линейной функции, нелинейная – в виде некоторой разновидности нелинейных функций.

Регрессионный анализ состоит из двух основных этапов.

Определяется вид зависимости (общий вид функции) y = f(x), характер поведения которой близок к описанию поведения точек корреляционного поля.

Определяются параметры этой функции, при которых она наилучшим образом описывает (аппроксимирует) поведение точек корреляционного поля.

Для нахождения теоретической линии регрессии (параметров выбранной функции) по данным экспериментальных замеров применяется метод наименьших квадратов (МНК).

Суть его состоит в том, что отыскивается теоретическая линия регрессии у по х, такая, что сумма квадратов расстояний от этой линии до каждой экспериментальной точки с такими же х -координатами минимальна.

То есть, функция регрессии y по х строится таким образом, чтобы соблюдался принцип наименьших квадратов:

(2.1)

где j – порядковый номер точки в экспериментальном числовом ряду;

y_j – экспериментальное значение y для определенного значения аргумента х _i;

y'_j – расчетное значение y при заданной величине аргумента х _i в соответствии с их теоретической взаимосвязью (то есть полученное путем подстановки х _i в уравнение теоретической зависимости).

Для нахождения значений параметров функции, соответствующих принципу наименьших квадратов, находятся частные производные функции (2.1) по этим параметрам и приравниваются к нулю. Решая полученную систему уравнений, получаем параметры функции, при которых она максимально приближена к точкам корреляционного поля.

Линейная парная регрессия записывается в виде:

(2.2)

Задача сводится к нахождению коэффициентов регрессии а и b уравнения (2.2), при которых сумма квадратов отклонений точек корреляционного поля от прямой будет минимальна.

Величина Dy_j, представляющая собой расстояние от каждой точки корреляционного поля до теоретической линии регрессии, определяется из уравнения (2.3):

(2.3)

где x_j– параметр х, соответствующий измеренному значению y_j.

Для определения численных значений коэффициентов регрессии a и b, исходя из принципа минимизации квадратов отклонений, нужно приравнять нулю частные производные функции S ² уравнения (2.1) по a и b:

; (2.4)

, (2.5)

Где m – количество проведенных экспериментов.

Выполнив необходимые преобразования уравнений (2.4), (2.5), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными для определения a и b:

. (2.6)

Решая систему уравнений (2.6) относительно a и b, находим численные значения коэффициентов регрессии.

1.4 Оценка погрешности парной линейной регрессии

После построения модели необходимо выполнить проверку ее адекватности.

Оценка адекватности модели производится на основании анализа значения коэффициента корреляции r, вычисляемого по формуле:

, (2.7)

где

; (2.8)

. (2.9)

Его величина может изменяться в пределах отрезка от –1 до 1. Чем ближе к единице модуль значения коэффициента корреляции, тем теснее линейная связь между х и у. При полном отсутствии связи r = 0, при |r |<0.5 гипотеза о наличии линейной связи отвергается, и линейная модель признается неадекватной.

Что касается диапазона значений модуля коэффициента от 0.5 до 1, то минимальный предел значения модуля r, при котором модель признается адекватной, определяется требованиями к точности модели – чем выше требования, тем ближе этот предел к единице.

Помимо оценки тесноты связи, коэффициент корреляции позволяет судить о характере зависимости между величинами х и у: если r > 0, между х и у имеет место положительная корреляционная связь, т. е. с ростом параметра х увеличивается параметр у; если r < 0, между х и у имеет место отрицательная связь.

Мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение), которое рассчитывается по формуле:

. (2.10)

Варианты исходных данных

Вариант 1

(1, 9.8); (1, 9.6); (1,10.6); (2,11.8); (2,13.0); (3,15.4); (3,13.8); (3,12.4); (4,15.4); (5,19.2); (5,18.2); (6,19.4); (6,18.6); (6,18.8); (7,22.0); (8,23.6); (9,25.4); (9,26.0); (10,26.8); (10,26.4).

Вариант 2

(1, 7.8); (1, 7.0); (1, 7.6); (2,14.2); (2,13.6); (3,20.6); (3,17.4); (3,20.6); (4,25.0); (5,30.6); (5,31.4); (6,36.8); (6,38.8); (6,38.8); (7,44.0); (8,48.6); (9,54.4); (9,54.0); (10,62.4); (10,60.2).

Вариант 3

(1, 6.6); (1, 6.8); (1, 7.4); (2,11.8); (2,11.8); (3,13.0); (3,14.2); (3,13.4); (4,14.8); (5,18.8); (5,20.2); (6,22.0); (6,20.4); (6,21.4); (7,26.6); (8,27.6); (9,32.8); (9,32.6); (10,35.2); (10,34.0).

Вариант 4

(1,14.0); (1,12.6); (1,13.8); (2,20.8); (2,18.6); (3,22.2); (3,24.4); (3,23.8); (4,27.6); (5,32.2); (5,33.2); (6,40.0); (6,40.8); (6,40.4); (7,44.4); (8,48.6); (9,52.2); (9,52.6); (10,57.6); (10,60.0).

Вариант 5

(1,19.4); (1,18.6); (1,19.6); (2,26.8); (2,27.8); (3,34.8); (3,35.8); (3,34.2); (4,41.4); (5,51.2); (5,50.4); (6,58.8); (6,58.6); (6,59.0); (7,66.6); (8,75.8); (9,81.6); (9,84.6); (10,90.4); (10,92.4).

Вариант 6

(1,10.0); (1, 7.8); (1, 8.2); (2,16.6); (2,14.4); (3,21.2); (3,23.4); (3,22.2); (4,29.2); (5,36.0); (5,37.0); (6,44.2); (6,43.8); (6,45.0); (7,51.8); (8,58.6); (9,63.2); (9,63.8); (10,70.4); (10,72.0).

Содержание отчета

В отчете должны быть представлены:

– решения задач к п. 1 и п. 2;

– понятие регрессии, суть метода наименьших квадратов;

– последовательность команд для нахождения коэффициентов линейной регрессии и полученные коэффициенты;

– полученное уравнение линейной регрессии;

– график полученной прямой и точек корреляционного поля;

– команды для вычисления коэффициента корреляции, среднего квадратичного отклонения и полученные значения;

– анализ достоверности и точности полученной линейной модели.