Біфуркації динамічних систем другого порядку

Рівняння руху автономної динамічної системи з одним ступенем свободи описується двома диференціальними рівняннями першого порядку:

(1)

Нехай праві частини системи (1) залежать від деякого параметра , тобто мають вигляд:

де і - аналітичні функції своїх аргументів.

Якщо при деякому значенні система є грубою, то при невеликих значеннях якісна картина на фазовій площині не зміниться. Однак не для всіх значень ця умова може бути виконана. В зв’язку з цим вводиться поняття біфуркаційного значення параметра. За визначенням значення параметра х=х₀ називається біфуркаційним, якщо при скільки завгодно близьких до значеннях і топологічна структура фазової площини різна. Із самого визначення біфуркаційного значення параметра слідує, що при система не є грубою.

Нагадаємо, що для прояснення якісної картини для системи другого порядку потрібно знати поведінку не всіх траєкторій, а тільки особливих траєкторій до яких відносяться стани рівноваги, граничні цикли і незамкнуті траєкторії, у яких хоча б одна траєкторія (а саме крива описується точкою, що зображується при чи із початкової точки при t=t₀) є сепаратрисою якого-небудь стану рівноваги. Якщо взаємне розміщення цих особливих траєкторій відомо і, крім того, визначна стійкість станів рівноваги і граничних циклів, то ми отримаємо мовну якісну картину розбивання фазової площини (х,у) на траєкторії.

Особливі траєкторії розділяють фазову площину на скінченне число комірок, оскільки із аналітичності правих частин системи (1) випливає, що число особливих траєкторій скінченне. Межа кожної комірки складається із особливих траєкторій, причому точки однієї і тієї ж траєкторії можуть бути граничними для декількох комірок.

Основною топологічною характеристикою, яка відрізняє одну комірку від іншого є її з’вязаність.

Якщо границя осередку складається з одного граничного континуума, то комірка називається однозв’язною, якщо з двох, трьох - двозв’язною, тризв’язною.

Найпростішим прикладом однозв’язної комірки є область всередині кола, двозв’язної – область між двома концентричними колами.

На рис.4.6 приведемо приклад складної однозв’язної комірки; на рис.4.7 - двозв’язної, де комірка виділена штриховою лінією. Очевидно, що комірки з неоднаковим числом зв’язності заздалегідь топологічно різні.

Рис.4.6

Рис.4.7

Так як якісна картина траєкторій на фазовій площині визначається особливими траєкторіями, тільки ті значення параметра виявляються біфуркаційними, при яких з’являються особливі елементи, що мають негрубу природу. В тому випадку, коли при біфуркаційних значеннях параметра на фазовій площині з’являється тільки один особливий елемент, кажуть, що автономна система другого порядку має перший ступінь негрубості. В такій системі негрубі елементи можуть бути одного із наступних типів:

1. Складний стан рівноваги, що утворюється при злитті двох простих особливих точок (наприклад, типу вузла і сідла). На рис.4.8 зображені три послідовні фази зміни фазових траєкторій в околиці двох особливих точок: вузла О₁ і сідла О₂. При досягненні параметром біфуркаційного значення, точки О₁ і О₂ зливаються, утворюючи складну особливу точку типу сідло-вузол (б), а потім зникають (в).

Рис.4.8

2. Вироджений фокус чи центр. На рис.4.9 представлена біфуркація, коли простий фокус перетворюється в складний фокус (момент біфуркації, що відповідає виродженню фокуса) із якого виникає граничний цикл.

Рис.4.9

3. Подвійний граничний цикл, що може, наприклад, утвориться при злитті стійкого і нестійкого граничних циклів. На рис.4.10 зображені три послідовності фазових параметрів, коли два граничних цикли (стійкий і нестійкий) (а), в момент біфуркації зливаються, утворюючи граничний цикл (б), потім зникають (в). Якщо розглянути ці зображення у зворотній послідовності, то отримаємо випадок виникнення граничних циклів із так званого ущільнення фазових траєкторій.

Рис.4.10

4. Сепаратриса, яка іде із одного сідла в інше чи в це ж саме сідло. На рис. 4.11 показаний випадок виникнення стійкого граничного циклу із петлі сепаратриси сідла. Нехай сепаратриси сідла при деякому значенні мають розміщення таке, як показанона (а). Припустимо, що при збільшенні параметра гілки сепаратриси зближаються і при деякому зливаються, утворюючи петлю (б). Якщо при подальшому збільшенні сепаратриси сідла знову розділяються так, як показано на (в), то із петлі утворюється граничний цикл. Значення в цьому випадку є біфуркаційним.

Рис.4.11

Для системи, що містить лише один параметр простір параметрів являє собою пряму, а біфуркаційне значення – точки, що розбивають цю пряму на області, у кожній із яких зміна параметра не приводить до зміни фазового портрета.

Якщо система містить два параметра і , тоді простором параметрів буде площина, яка розділена на області однакової поведінки системи з допомогою біфуркаційних кривих. Знаючи структуру розбиття фазового простору для якої-небудь точки площини параметрів , можна, неперервно переміщуючись в цій площині, знайти структуру фазового простору для будь-якої іншої точки площини параметрів. При цьому потрібно знати лише характер біфуркації, яка відбувається в фазовому просторі тієї чи іншої біфуркаційної границі. В цьому виявляється евристична цінність теорії біфуркацій.