системи координат

(1.18)

^)=EV^(br)·

b

Оскільки функція V(r) має бути періодичною на ґратці, запишемо

7(г) = У(г + a_n) = ^V_be^ib(r+an) = ^У_ье^ІЬге^ІЬа". (1.19)

B b

Звідси випливає, що експонента е^іЬЛп має дорівнювати одиниці. Це означає, що (1.19) вимагає виконання умови

ba_n = njba._x + n₂ba₂ + n₃ba₃ = 2πΝ, (1.20)

де N - довільне ціле число. Оскільки (1.20) має виконуватись для будь-яких цілих чисел іу, то лишається єдина можливість задовольнити це рівняння, а саме покласти

Ьь_г = 2ng_x, ba₂ = 2ng₂, ba₃ = 2ng₃. (1.21)

Зрозуміло, що можна запропонувати безліч шляхів забезпечення співвіднопіень (1.21), але необхідно визначити єдиний шлях. При цьому треба зважати, що вектор b має визначатись параметрами ґратки. Тому для однозначного визначення b розкладемо його за трьома не-компланарними векторами, що побудовані як векторні добутки основ­них векторів ґратки

Ь = ζ₁(a₂χaз) + ζ₂(aзχa₂) + ζз(a₁χa₂). (1.22)

Підставляючи це розкладення до (1.21), маємо

2πΕ₁=ζ₁α₁(β₂χα₃), 2ng₂ =?₂а₂(а₃ха₁), 2ng₃ = C₃a₃(a_lXa₂), (1.23)

2π звідси ζ. =—g., де Ω₀ =а₁(а₂ха₃) - об'єм елементарної комірки. Отже

(1.24) (1.25)

&2_П

b = g₁b₁ + g₂b₂+g₃b₃,

_ 2п(а2ха3). _ 2я(а3ха1) _ 2π(&1χ&2) °1 - ~--------- ' °2------------ ~-------- ' D3 _----------- ~----------

Ω,

Ωη

Ωη

ДЄ

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

Ці вектори називаються векторами оберненої ґратки, і, як безпосе­редньо випливає із визначення, мають розмірність оберненої довжини. Вектори b із (1.24) утворюють ґратку з основною коміркою, що побу­дована на векторах b_1? b₂, b₃. Така ґратка називається оберненою до вихідної прямої ґратки та є інваріантним геометричним об'єктом, властивості якого відіграють визначальну роль у фізиці твердого тіла.

Розглянемо властивості оберненої ґратки.

1. Оскільки векторний добуток є вектором, що перпендикулярний до векторів, які його утворюють, маємо

тобто

(1.26)

a;bfc=	= 2πδΛ,
Ьі±	&2 та а3>
ь2±	ajта а3,
b3-L	а2та ах.

2. Визначимо площину прямої ґратки Бреше як таку, що проходить щонайменше через будь-які три вузли ґратки Браве, не розташовані на одній прямій. Тоді кожен вектор оберненої ґратки є перпендикулярним до деякої множини площин прямої ґратки. Дійсно, виберемо будь-який

вектор оберненої ґратки g і вектор прямої ґратки 1 та утворимо їхній ска­лярний добуток. Згідно із (1.20) маємо

g-l = 2nN. (1.27)

Це означає, що довжина проекції век­тора 1 на напрямок вектора g

2πΝ

d =

(1.28)

g

Рис. 1.20. Кристалічні площини та вектори оберненої ґратки

Така властивість притаманна нескін­ченній кількості точок прямої ґратки. Дійсно, припустимо, що вектор ґратки Γ (рис. 1.20) визначається цілими числами

l'_l=l₁-mn₃, 1₂=1₂-тп₃, 1₃ = 1₃ +т(щ +п₂), (1-29)

де т- ціле. Маємо

g = п}>₁ + n₂b₂ + п₃Ь₃, V = (Ι_λ - тп₃)α, + (l₂ - тп₃)а_х + (Ζ₃ + т{щ + η₂))а_х, g-Γ = {4,(1, -mnj + n^ -mn₃) + n₃(l₃ +m[n₁ +n₂))}. Використовуючи (1.27), отримаємо

gl = gl=2nN, (1.30)

19 Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

отже вектор Γ має ту саму проекцію на напрямок g, що й 1. Таким чином, вектор 1 визначає точку, що лежить у площині, нормальній до g, і від­стоїть від початку координат на відстані d. Іншими словами, якщо цій площині належить хоча б одна точка ґратки, то на ній лежить нескін­ченна множина таких точок: ми побудували одну із площин ґратки.

3. Якщо компоненти вектора g не мають загального множника, то його довжина обернено пропорційна до відстані між: сусідніми пло­щинами ґратки, що перпендикулярні вектору g. Якщо числа (п_ь щ, щ) не мають загального множника, то завжди можна знайти вектор 1" такий, що

g-l" = 27i(iV41). (1.31)

Звідси робимо висновок, що площина ґратки, якій належить вектор 1", розташована на відстані

а" = Щ^11 (1.32)

І«І

від початку координат. Тобто, відстань між площинами {1"} та {1}

_d„ _{ά =} 2π(Ν + 1) 2πΝ ₌ 2π _{(1 33)}

Id Id Id'

Для побудови оберненої ґратки можна використати алгебраїчний метод і, застосовуючи (1.25), обчислити вектори b_1? b₂, b₃, де як на базисі побудувати вектор Ь, згідно із (1.24). Вектори b утворюють питому обернену ґратку. Розглянемо тепер важливі приклади побудови обер­неної ґратки.

Прямі обчислення із використанням (1.25) показують, що оберненою ґраткою до простої кубічної ґратки зі стороною елементарної комірки а є проста кубічна ґратка із кубічною елементарною коміркою зі сто­роною 2π/α. Дійсно, якщо базисом кубічної ґратки є а_х = ах, а₂ = ау та а₃= az, то, згідно із (1.25), Ь₁ = (2π/α)χ, b₂ = (2π/α)γ, і b₃ = (2π/α)ζ.

Застосовуючи побудову (1.25) до базису гранецентрованої кубічної ґратки зі стороною α (див. (1.4)) і зважаючи на те, що (z + x)x(x + y) = y + z-x, (x + y)x(y + z) = z + x-y та (y + z)x(z + x) = x + y-z, отримаємо базисні вектори оберненої ґратки

- (4π/α),. - (4π/α), _ч. (4π/α),,

b₁=-^L-~(y + z-x), b₂=-^-^(z + x-y), b₃ = ^{v !} '(x + y-z),

що збігаються за формою із базисом об'ємноцентрованої кубічної ґратки, де стороною умовної кубічної ґратки є 4π/α.

Якщо аналогічно виконати побудову, згідно із (1.25), для об'ємноцен­трованої кубічної ґратки із базисом (1.3), то отримаємо

_bi=liz^)_(y+2), ь₂=й^!_(г+х|, ь,=!її^(_У+*),

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

що за формою збігається із набором основних векторів гранецентро-ваної кубічної ґратки (див. (1.4)). Тобто оберненою ґраткою для об'єм-ноцентрованої кубічної ґратки буде гранецентрована кубічна ґратка зі стороною 4π/α.

Зауважимо, що часто побудову оберненої ґратки для заданої ґратки Браве варто виконувати із застосуванням геометричних міркувань, що базуються на властивостях оберненої ґратки. Наприклад, для одно-вимірної ґратки Браве із базисом а = αχ можна використати власти­вість (1.26). У результаті отримаємо, що оберненою ґраткою буде од-новимірна ґратка із базисом b = (2π/α)χ.

Як випливає із властивостей оберненої ґратки, найпростіший спосіб характеризації площин ґратки Браве полягає у задаванні нормалей до цих площин. Атомна площина кристалічної ґратки визначається як площина відповідної ґратки Браве. Для кожного набору атомних площин, що розташовані одна від однієї на відстані d, існують вектори оберненої ґратки, перпендикулярні до цих площин. Як випливає із (1.33), найменший із них має довжину 2n/d. І навпаки, для кожного вектора оберненої ґратки G існує набір атомних площин, що перпендикулярні до G і розташовані одна від одної на відстані d. При цьому g = 2n/drsie найменшим вектором оберненої ґратки, що паралельний до G. Таким чином, орієнтація атомної площини однозначно задається вектором нормалі до неї, оскільки для будь-якого набору атомних площин існує вектор оберненої ґратки, нормальний до них. Для визначеності виби­рають найменший із таких векторів. Якщо вектор має вигляд

K₀=hb₁+fcb₂+Zb₃, (1-34)

то числа /г, к, І називають індексами Міллера даної площини. Оскільки площина ґратки з індексами Міллера є перпендикулярною до вектора оберненої ґратки (1.34), то можна визначити деяку сталу А таку, що ця площина визначатиметься рівнянням

Κ_η·Γ = Λ.

(1.35)

Рис. 1.21. Визначення індексів Міллера

Площина пересікає вісі, направлені за основними векторами а_г- прямої ґратки у точках ХіВ._ІУ л^а₂ та XqB.₃ (рис. 1.21). Оскільки площина задовольняє (1.35), то цьому рівнянню мають задовольняти й вели­чини Хі, тобто виконуватись умови Kq · (Xfaj)= A. 3 іншого боку Ко-а! = 2nh₉ Ко · а₂ = 2пк, Ко · а₃ = 2πΖ. Тоді

AAA

2nh

(1.36)

2πΙ

2пк

Розділ 1. БЛБМБНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

тобто відрізки, які відсікає на осях кристала атомна площина, обернено пропорційні до індексів Міллера цієї площини. На основі цього факту у кристалографії індекси Міллера визначають ще як цілі числа, які не мають загального множника та обернено пропорційні відрізкам, що відсікає атомна площина на осях кристала

h:k:l= (Ι/χ^Ι/χ^Ι/λ^). (1-37)

Індекси Міллера широко застосовують для визначення орієнтацій у кристалі. І оскільки властивості кристалів сильно залежать від напрям­ків щодо кристалографічних осей, прийнято загальну схему позначень для орієнтацій кристалічних площин, напрямків і цілих їхніх сімейств. Наприклад, атомні площини зазвичай позначаються індексами Міл­лера у круглих дужках. На рис. 1.22 подано приклади трьох атомних площин для простої кубічної ґратки та їхні індекси Міллера. Коми між цифрами опускають, і знак мінус (якщо такий є) записують над ци­фрою. Наприклад, у кубічній системі площину, що відсікає на осях а_ь а₂, а₃ відрізки (2,-1,4), позначають як (241). Зрозуміло, що для одно­значної інтерпретації таких символів необхідно знати, як вибрані осі системи координат, що використовуються. Для нас важливими є кристали кубічної симетрії, оскільки більшість напівпровідників ха­рактеризуються кубічною кристалічною структурою. У такому випадку завжди використовують осі простої кубічної комірки.

Рис. 1.22. Індекси Міллера атомних площини простої кубічної ґратки

Для напрямків у прямій ґратці використовують аналогічні позна­чення, але для відмінності від індексів Міллера застосовують квадратні дужки. Оскільки деякий радіус-вектор

R = п^ + п₂а₂ + п₃а₃ (1 -38)

відсікає на осях системи координат відрізки піаі, гь&я та пзаз, то його напрямок позначається як [щп^щ], наприклад просторова діагональ простої кубічної ґратки має напрямок [111]. Часто використовують позначення, що вказує не тільки на одне сімейство атомних площин, а й на всі інші сімейства, еквівалентні йому через симетрію кристала. Якщо площина (hkl) еквівалентна цілому набору площин, то весь набір по­значають символом {hkl}. Наприклад, у кубічному кристалі площини (100), (010) та (001) еквівалентні. Для таких сімейств площин викорис-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

товують загальне позначення {100}. Подібне правило застосовують і для напрямків. Наприклад, еквівалентні напрямки у кубічному кристалі [100], [010], [001], [100], [010] та [00Ї] позначають символом <100>.

Насамкінець зауважимо, що аналогічно до прямого простору еле­ментарна комірка оберненої ґратки не обов'язково є паралелепіпедом. У теорії твердого тіла майже завжди працюють із коміркою Вігне-ра-Зейтца в оберненій ґратці. Така комірка має спеціальну назву -зона Бриллюена. Такі напівпровідники, як германій і кремній крис­талізуються у структуру із ґраткою типу алмазу (рис. 1.23), а арсенід галію - у структуру типу цинкової обманки, що мають симетрію кубічної гранецентрованої ґратки, тому на рис. 1.24 показано зону ГЦК криста­лічної структури із позначенням точок і ліній симетрії. Зона Бриллюена обмежується вісьмома правильними шестикутниками, що належать до сімейства площин {111}, і шістьома квадратами, що належать до сі­мейства площин {002}. Точка Γ лежить у центрі зони Бриллюена. Точ­ками W позначають вершини, центри шестикутних граней - через L, а центри квадратних граней - через X.

Рис. 1.23. Кристалічна структура типу алмазу

Рис. 1.24. Лінії та точки симетрії у зоні Бриллюена ГЦК структури

1.3· Електрони у періодичному потенціалі. Загальні властивості

Тверде тіло іноді називають конденсованим станом речовини, і уточнюють - кристалічним конденсованим станом. Це означає, що при утворенні твердого тіла атоми речовини конденсуються у кристалічну тверду фазу, тобто утворюють за такої конденсації регулярну струк­туру. Існують й інші можливості конденсації речовини у тверде тіло. Наприклад, якщо за конденсації не виникає далекого порядку, а іс­тотним є ближній порядок, то йдеться про утворення аморфного твердого тіла. Одним із загальновідомих прикладів аморфних твердих

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

Рис. 1.25. Енергетичний спектр електронів в ізольованому ^електронному атомі

тіл є звичайне скло. Про аморфні напів­провідники йтиметься пізніше, а тепер розглянемо на якісному рівні процес кон­денсації речовини у кристалічну твердо-тільну фазу. Наприклад, є окремий атом деякої речовини. Зважаючи на те, що енергетичний спектр електронів в ізольо­ваному атомі є дискретним, уявимо енер­гетичну діаграму ізольованого атома у вигляді, що поданий на рис. 1.25. Вважа­тимемо, що атом має N електронів, з яких - два валентних. Тепер уявимо, що два таких однакових атоми конденсуються у молекулу. Зрозуміло, що за рахунок вза­ємодії їхні електронні стани змінювати­муться, тобто зміниться й структура енер­гетичних рівнів. Згідно із принципом Паулі електрони, що заповнюють внутрішні оболонки завдяки ефекту екранування, відчуватимуть дію зовнішнього атома набагато слабкіше за електрони зовнішніх оболонок, тобто валентних електронів. Що трапиться, коли ці два атоми почнуть наближатись один до одного? Оскільки вони однакові, то зрозуміло, що взаємодія відбуватиметься між: відповідними виродженими електрон­ними станами. З іншого боку, із курсу квантової механіки відомо, що взаємодія викликає зникнення виродження, тобто можна передбачити, що завдяки взаємодії ви­роджені електронні стани валентних електронів помі­тно розщеплюватимуться, стани же внутрішніх елект­ронів визначатимуться не­значним розщеплюванням, що ефективно спостеріга­тиметься як більше або менше розширення рівнів (рис. 1.26).

Рис. 1.26. Енергетичний спектр електронів у двох атомах, що розташовані один від одного на відстані, більшій за критичну для утворення хімічного зв'язку

Тепер уявимо, що у про­цесі конденсації бере участь дуже велика кількість ато­мів. Зменшення відстані між: ними до розмірів сталої ґратки викличе зниження

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

потенціальної енергії, і взаємодія між атомами у ґратці приведе до розмиття енергетичних рівнів валентних атомів у майже суцільні смуги, що мають назву енергетичних зон (рис. 1.27). Стани у зонах заповнюва­тимуться електронами, згідно із принципом Паулі (на одному енерге­тичному рівні може бути лише один електрон або два - із протилеж­ними спінами). Таким чином, якщо у кристалічне тверде тіло кон­денсувались атоми з одним валентним електроном, то енергетична зона, в яку розмиється рівень валентних електронів, буде заповнений рівно наполовину. Як результат маємо випадок типового металу.

Рис. 1.27. Схема виникнення енергетичних зон за конденсації атомів у кристал.

Завдяки взаємодії між атомами потенціальна енергія дещо знижується та утворюються зони колективізованих електронів. Рівні локалізованих електронів також розмиваються в смуги

Якщо у кристалічне тверде тіло конденсувались атоми із двома ва­лентними електронами, то енергетична зона, утворена розмиттям рів­ня валентних електронів, буде повністю заповнена, і для збудження будь-якого з них потрібно витратити деяку енергію, що дорівнює енергетичній відстані між: заповненою зоною і пустою зоною, яка утворилась із першого збудженого рівня валентного електрона в ізо­льованому атомі.

Таким чином, із якісного аналізу енергетичної структури електронів у твердих тілах ми доходимо дуже важливого висновку: енергетичний спектр електронів у твердих тілах має зонний характер, тобто у ре­зультаті взаємодії атомів, що складають тверде тіло, електронні ене­ргетичні стани утворюють цілі енергетичні смути - енергетичні зони, розділені смутами недозволених станів - заборонені зони.

Насправді ж ситуація є набагато складнішою. За допомогою про­стих наочних моделей неможливо достатньо точно описати енерге­тичний спектр електронів у кристалах. Для детальнішого вивчення електронних властивостей кристалічних твердих тіл необхідно засто-

25 Розділ 1. БЛБМБНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

совувати методи квантової теорії. А оскільки кристал являє собою складну систему з атомів ґратки і великої кількості колективізованих електронів, варто використовувати досить складні підходи, що базу­ються на методах квантової теорії багатьох частинок. Як перший крок до побудови таких підходів сформулюємо надзвичайно важливу тео­рему, що дозволяє визначати загальний вигляд хвильових функцій частинки, що рухається у періодичному потенціалі.

■ 1.4. Теорема Блоха

Для аналізу властивостей (електронних, магнітних, пружних тощо) твердого тіла недостатньо знати функції із симетрією ґратки (напр., кристалічний потенціал або електронні хвильові функції основного стану). Необхідно розглядати й збудження, що порушують точну си­метрію структури, яка розглядається. Збудження системи описуються деякими рівняннями, що у будь-якому разі мають бути інваріантними щодо трансляцій ґратки. Розглянемо такий випадок на прикладі елек­тронних збуджень. Нехай V(r) - потенціальна енергія електрона у точці г. Тоді у силу трансляційної симетрії системи для будь-якого вектора ґратки 1 маємо

У(г + 1) = V(r). (1.39)

Хвильова функція електрона Ψ(γ) задовольняє рівнянню Шредингера

h² λ

-—V² +V(r)-E ψ = 0, (1-40)

M J

яке має липіатись незмінним за заміни г на г + 1 у всіх операторах, що діють на Ψ(γ). Для строго розгляду цієї обставини позначимо через Н(0), 10 >, Щ1) та 11 > гамільтоніан і хвильову функцію до й після трансляції, відповідно. Трансляційна інваріантність вимагає виконання умови

Я(1) = Я(0). (1.41)

Тепер задача на власні значення запишеться як

Н(0)|0> = £|0> (1.42)

або тотожна з нею Н(1) 11 > = Ε 11 >. (1.42 а)

Оскільки всі точки ґратки Браве еквівалентні, то й усі розв'язки (хвильові функції), що відповідають трансляції на вектор ґратки, мають бути еквівалентні один одному. При цьому необхідно враховувати, що стани квантової системи можуть бути виродженими. Розглянемо ви­падки вироджених і невироджених станів окремо. Спочатку припус-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

тимо, що розв'язок |0> невироджений. Розглядатимемо трансляцію на один крок у напрямку основного вектора ґратки Браве а_1в Тоді еквіва­лентність вимагає, щоб функція |а_х > відрізнялась від |0> не більше, як на множник. З фізичного погляду ці стани однакові, тобто має існувати таке число λχ, за якого у результаті одного кроку у напрямку вектора аі хвильова функція трансльованої системи визначалась би як добуток цього числа на хвильову функцію нетрансльованої системи

|а_х> =λ₁|0>. (1.43)

Оскільки хвильова функція є нормованою на одиницю, маємо рів­няння для визначення λ ι

М²=1. (1.44)

Найпростішою функцією, що задовольняє (1.44), є експонента

λ₁₌β^, (1.45)

де к_г - дійсне число. Аналогічно, для одиничних трансляцій у напрямку інших базисних векторів запишемо

| а₂> = є¹*² 10 > та | а₃> = є¹*³ 10 >. (1.46)

Для трансляції на довільний вектор ґратки 1 маємо

11> = | Ζ_1&1 + Z₂a₂ + /_За₃ > = є*¹ | ft - IK + l₂a₂ + Z₃a₃ > =

= e^i(fcl+fcl)|(Z₁-2)a₂+Z₂a₂+Z₃a₃> =... (1.47)

= e^lM 10 + Z₂a₂ +Z₃a₃> =...e^V^V⁷⁰³'³ 10> = e?^lkA+k3h+k3h) 10 >.

Дійсно, при виконанні перетворень (1.47) було зроблено її кроків у на­прямку а_ь Iq кроків - у напрямку а₂ та Z₃ кроків - у напрямку а₃, і після кожного кроку функція домножувалася на відповідний множник. Нехай, наприклад вектор

k = /c₁b₁+/c₂b₂+/c₃b₃, (1.48)

де Ь_г, і = 1, 2, 3 - трійка векторів оберненої ґратки, що відповідає ве­кторам а_г, і = 1, 2, 3 прямої ґратки. Тоді можна записати

|1> = е^1к1|0>. (1.49)

Тахим чином, ми отримали дуже важливий результат: для будь-якої хвильової функції, що задовольняє рівнянню Шредингера, існує такий вектор к, за якого трансляція на вектор ґратки 1 еквівалентна множенню цієї функції на фазовий фактор ехр(ікі).

У загальнішому випадку вироджених станів також: можна сфор­мулювати твердження, аналогічне (1.49). Строгий розгляд загального випадку подано у додатку А, де на прикладі дворазово виродженого

27 Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

стану показано, що для кожної функції |0}_г η-разово виродженого стану існує хвильовий вектор k_r такий, за якого при трансляції на до­вільний вектор ґратки 1 хвильова функція виродженого стану запи­шеться як

11>,- = e^ifcfl | 0}_ж-. (1.50)

При цьому враховується, що кожен вироджений стан | 0}_г може бути суперпозицією вироджених станів 10 >_г, тобто

Ю}„

|о>₂

(1.51)

vi0>.y

де S - деяка унітарна матриця.

Ці рівняння складають суть такої загальної теореми:

Будь-який розв'язок, що відповідає виродженому значенню енергії за трансляції системи на вектор ґратки 1, можна представити у вигляді лінійної комбінації розв'язків, що відповідають тій самій енергії. Коефіцієнтами у такій су­перпозиції виступають комплексні експоненти exp(ikl).

Це й є одним із загальних формулювань теореми Блоха.

■ 1.5. Циклічні граничні умови Борна-Кармана. Приведення до зони Бриллюена

У випадку електронних хвиль із теореми Блоха випливає, що будь-яку електронну функцію можна характеризувати π хвильовим вектором k і записати

ψ(Γ + 1) = β^ίωψ(Γ). (1.52)

Такій умові відповідає й хвильова функція вільного електрона

_v<D)_{W = e}ifc*_e (1.53)

Цей факт не є несподіваним, оскільки й в цьому випадку можна роз­глядати розв'язок рівняння Шредингера із періодичним потенціалом, що всюди дорівнює нулю. Тобто за допомогою порожньої ґратки ми просто виконали перевірку, яка часто виявляється корисною при розгляді властивостей твердого тіла. Іноді при формулюванні теореми Блоха хвильову функцію електрона представляють у вигляді

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ 28

y(r) = e^ikru_k(r). (1.54)

Тоді, згідно із (1.54), функція ut(r) має бути періодичною, тобто

u_k(r +1) = u_k(r). (1.55)

Це твердлсення також часто називають теоремою Блоха, а функції Uk(r) - блохівськими.

Якщо виявиться, що деякому стану відповідає вектор оберненої ґратки g, то хвильова функція, відповідна такому стану, буде пері­одичною

y_g(r + l) = e^l'^gVg(r) = 4J_g(r), (1-56)

оскільки e^lgl =1 для всіх 1. Нехай тепер деякому стану, що описується хвильовою функцією \|/к, відповідає хвильовий вектор

k = g + k', (1.57)

де g - деякий вектор оберненої ґратки, ак'- новий хвильовий вектор. Тоді маємо

_Vk(r +1) = e^l'^(g+k'>V_k(r) = e^ik'V_k W > <¹ ·⁵⁸)

тобто функція \|/_к задовольняє теоремі Блоха так, якби їй відповідав

хвильовий вектор к'. Первинний вибір хвильового вектора k не є одно­значним, кожній хвильовій функції відповідає вся множина можливих хвильових векторів, що відрізняються один від одного на вектор обер­неної ґратки. Як однозначно визначити хвильовий вектор, що відповідає даній хвильовій функції? Розглянемо процедуру однозначного визна­чення хвильового вектора на прикладі одновимірної ґратки. Аналог оберненої ґратки у цьому випадку - набір обернених довжин ґратки

д_п=п^. (1.59)

а

Стану із даною енергією можна приписати будь-яке хвильове число із

набору

2п
к = п — + к', (1.60)

α

тобто хвильове число, визначене лише із точністю до η(2π/α). Зазвичай як представник усіх чисел к вибирають хвильове число із найменшим можливим абсолютним значенням І k'l, а саме для хвильового числа завжди вибирається значення, що лежить в інтервалі

_Ї</е'<^. (1.61)

29 Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

Цей інтервал збігається із зоною Бриллюена одновимірної системи та є елементарною коміркою оберненої ґратки.

У випадку трьох вимірів молена виконати ту саму процедуру - вибрати
хвильовий вектор в оберненому просторі, а далі - вектор g так, щоб мо­
дуль вектора к' був найменшим із можливих або точка к' лежала най­
ближче до початку координат в оберненому просторі, тобто до "ну­
льового" вузла, ніж: до будь-якого іншого із вузлів оберненої
ґратки. Це рівнозначно твердженню,
що ця точка лежить у комірці Вігне-
ра-Зейтца оберненої ґратки, тобто у
зоні Бриллюена. Таким чином
будь-який вектор k можна привести
до відповідного вектора у зоні Брил­
люена (рис. 1.28). Тому хвильову функ­
цію можна описувати у схемі приве- Рис. 1.28. Приведення до зони
■ч ^ г< Бриллюена у двовимірній ґратці
дених зон або, іншими словами, будь- ^{J r}

якій хвильовій функції відповідає приведений хвильовий вектор. Але може існувати багато функцій із тим самим приведеним хвильовим вектором, що відповідають різним енергіям.

З'ясуємо, що відбувається із власними функціями вільного елект­рона у порожній ґратці. Нехай

ψ = e^ik* = e*^(k"^e)V^e'^r = e^l'^k'V^g'^r), (1.62)

де к' - приведене значення істинного хвильового вектора. Іншими словами, ця хвильова функція має стандартний вигляд блохівської, оскільки exp(zg · г) є періодичною функцією у заданій ґратці. І якщо енергія задається формулою

h²k²

ВД = ^г^-> О·⁶³)

2т

то вона виявляється багатозначною функцією /с'у приведеній зоні.

Необхідно зазначити, що основною ідеєю, що приводила нас до того чи іншого результату, була ідея трансляційної інваріантності кристаліч­ної ґратки, яка вважалась необмеженою. Але таким чином доводиться мати справу із нескінченним числом атомів і хвильових функцій. Якщо ж вважати, що ґратка обмежена, то варто брати до уваги наявність меж: розподілу й необхідність задоволення граничним умовам. Зрозуміло, що така програма не може бути реалізована із багатьох причин, тим паче, що існує математичний прийом, який дозволяє задовільно розв'язувати проблему підрахунку станів, не вводячи додаткових ефектів, пов'яза­них із межами розподілу. Цей прийом полягає у застосуванні циклічних граничних умов, або умов Борна-Кармана.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ ЗО

В одновимірному випадку можна припустити, що кристал склада­ється з L комірок, які з'єднані так, що утворюють замкнене коло. При цьому хвильова функція має задовольняти умові

ψ(χ + La) = \\f(x), (1.64)

що забезпечує її неперервність у точці з'єднання. З іншого боку, тео­рема Блоха дає змогу записати

y_fc(x + La) = e^l7cLay_fc(jc), (1.65)

що означає необхідність виконання умови

е^Ша=1 або k = ^l·, (1.66)

La

де т - ціле число.

В одновимірній приведеній зоні -π/α < к < π/α, тому цілі числа з інтервалу

-- < т < — (1.67)

2 2

дадуть усі можливі значення приведеного хвильового числа. Разом існує L таких значень, що відстоять одне від одного на відстані (l/L)^(2π/a). Оскільки величина L є дуже великою, то значення розподілені в обер­неному просторі практично безперервно зі сталою щільністю.

Припустимо тепер, що система є циклічною у трьох вимірах, тобто являє кристал із розмірами вздовж: трьох базисних напрямків ґратки - L\9l\₉ L2B.2 та Ьза₃. Тоді циклічні умови дають

ψ(Γ + ^) = ψ(Γ), ζ = 1,2,3. (1.68)

Звідси для блохівських функцій, що характеризуються хвильовим ве­ктором к, маємо рівності

_eik<lA) _{= β}ΐΐΜί*ι₂) _{= е}ік.(Іза₃) _{= χ ? (1 бд)}

що задовольняються лише за умови

3, 2ят;

к^^Ь.+^Ь^/СзЬз^Х^рЬ,, (1.70)

де гщ - цілі числа, а bj - вектори оберненої ґратки. Отже дозволені значення вектора k можна отримати за допомогою поділу утворюючих векторів оберненої ґратки на Ь_г частин для г-го напрямку. Таким чином, обернений простір складається із рівномірно розподілених точок, на яких визначено вектори к. При обчисленні щільності цих точок варто пам'ятати, що вони можуть накрити всю елементарну комірку обер­неної ґратки, якщо цілі числа щ пробігають значення 0 < m_z< L. Можна розглядати симетричну область

31 Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

-L_i/2<m_i <LJ2. (1.71)

Таким чином ми отримали б елементарну комірку, яка має вигляд паралелепіпеда із центром на початку координат. Але зручніше ви­брати комірку у вигляді комірки Вігнера-Зейтца, тобто зони Бриллю-ена. Об'єм зони Бриллюена збігається з об'ємом елементарної комірки, що має форму паралелепіпеда. Із цієї причини у ній має міститися та ж сама кількість дозволених значень вектора к. Згідно із нерівностями (1.71) це число дорівнює добутку вузлів ґратки вздовж: коленої із трьох осей

L^L₂^L₃=N, (1.72)

що збігається із кількістю елементарних комірок у всьому макроско­пічному кристалі. Таким чином можна сформулювати дуже важливу теорему:

Зона Бриллюена містить рівно стільки дозволених хвильо­вих векторів, скільки елементарних комірок містить блок кристала.

Об'єм зони Бриллюена дорівнює 8π³/ν₀ (див. задачу 1). Якщо в об'ємі кристала міститься N елементарних комірок, то об'єм елементарної комірки у прямому просторі

v_c=V/N, (1.73)

і тоді на кожний дозволений вектор k у k-просторі приходиться об'єм

8π^₌8π^ v_c N V

тобто в одиниці об'єму оберненого простору існують ν/8π³ дозволених к-векторів. Оскільки величина ІУдуже велика, то розподіл дозволених векторів можна розглядати як неперервний. На основі цього твер­дження часто виконують перехід від підсумовування до інтегрування:

X/(k) -> /j-fdk/ik). (1-75)

k on ^J

Ця формула дуже часто використовується у фізиці твердого тіла.

1.6. Задачі

1. Доведіть, що вектори оберненої і прямої ґратки задовольняють співвідношенням

b₁x(b₂xb₃) =------ ^(2π)3, (1-76)

»1^Χ(»2^Χ&3)

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ 32

або що об'єм елементарної комірки в оберненій ґратці обернено пропорційний до об'єму елементарної комірки прямої ґратки:

ν_Γ = (2π)³/Ω₀. Розв'язок. Скористаємося виразом для вектора оберненої ґратки

(а2ха3)

Ь_х=2я-

а_гх(я₂ха₃)

Запишемо об'єм елементарної комірки оберненої ґратки за допомогою цієї формули

*. /^ *- ч η (a₂xaJx(b₂xbo) _Іл ___ч

Ь₁х(Ь₂хЬ₃) = 2п— ------ ^{з; v 2}----- ^. (1.77)

а!х(а₂ха₃)

Використаємо тепер тотожність Лагранжа

(axb)x(cxd) = (axc)(bxd)-(bxc)(axd)

і вираз Ь. χ а. = 2πδ_Γ. У результаті маємо

(а₂ха₃)х(Ь₂хЬ₃) = (а₂хЬ₂)(а₃хЬ₃)==(2тг)². Тоді із (1.77) отримуємо (1.76).

2. Нехай вектори прямої ґратки ац побудовано на векторах оберненої ґратки за
таким самим правилом, що й вектори оберненої ґратки через основні вектори ґратки
а. Браве. Доведіть, що ці вектори збігаються, тобто а_г =af.

Розв'язок. Необхідно довести, зокрема, що

α₁₌2π ^Ь2><Ьз— = а_х. (1-78)

Цх^хЬз)

Для цього запишемо Ь₃ = 2π—^Η*^χ&2—

*ι^χ(*2^χ*₃) і підставимо вираз до (1.78). Маємо

α, =(2π)² χ (b₉x(a,xa₉))-

b_lX(b₂xb₃) _aix(a₂xa₃)^{1 2 l 2))}

Тепер запишемо, що (Ь₂х(а₁ха₂)) = а₁(Ь₂ха₂)-а₂(Ь₂ха₁) = 2яа₁. Користую­чись результатом попередньої задачі, маємо

/лл \2 1 2пв._л

α_λ =(2π) ----------------- χ---------- ----- = а_г

ЬіХ(Ь₂хЬ₃) a₁x(a₂xa₃)

Подібні перетворення можна записати й для інших векторів ґратки. Таким чином ми строго отримали дуже важливий результат:

Обернена ґратка до оберненої ґратки - вихідна ґратка Браве.

3. Доведіть, що для будь-якого вектора ґратки Браве R виконується тотожність

Розділ 1. БЛБМБНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

2У'^кк=і\Г5_к;(5. (1.79)

R

Розв'язок. Вектор R пробігає всіма N вузлами ґратки.

R = п^ + п₂а₂ + п₃а₃, 0 < п_{ < N_t, Ν_λΝ₂Ν₃ = Ν. (1.80)

Якщо хвильовий вектор k задовольняє граничним умовам Борна-Кармана, то ве­личина суми не змінитися, якщо вектор R зсунути на довільний вектор ґратки Браве R', тобто

Ј_eik.(R₊R') _=eik-R'Ј_eik.R _{β (1 81)}

R R

Звідси робимо висновок, що сума має дорівнювати нулю, якщо передекспонента у правій частині формули не є одиницею. Але, як відомо, передекспонентна у правій частині (1.81) дорівнює одиниці тільки за умови, що k є одним із векторів оберненої ґратки. Нехай цей вектор оберненої ґратки є нулем. Тоді сума в (1.81) просто дорі­внюватиме N, або

2>^ikR=iV6_k)0. (1.82)

R

З іншого боку будь-який хвильовий вектор можна привести до першої зони Бриллюена, якщо записати його через суму вектора із першої зони Бриллюена кі та відповідного вектора оберненої ґратки:

k = k₁₊g. (1.83)

Із (1.82) випливає, що для ненульової суми вимагається, щоб к_х = 0. Тоді для до­вільного вектора із рівняння (1.82) випливає k = g, тобто тотожність (1.79) доведено. 4. Доведіть тотожність

Xe^ik,R=i\r8_Rf0, (1-84)

k

якщо R - будь-який вектор ґратки Браве, а сума береться за всіма k у першій зоні Бриллюена, що задовольняють граничним умовам Борна-Кармана.

Розв'язок. Сума не має змінитися, якщо кожен вектор k перенести на один і той самий вектор к₀ із першої зони Бриллюена, який, крім того, задовольняє умовам Борна-Кармана. Дійсно, примітивну комірку, що виникає внаслідок зсуву всієї першої зони на вектор к₀, можна повернути до першої зони, якщо розбити її на частини та

зсунути на відповідні вектори оберненої ґратки. Оскільки жодний доданок e*^kR не зміниться за зсуву k на вектор оберненої ґратки, сума за зсунутою зоною тотожно дорівнює сумі за висхідною зоною Бриллюена

^e^zkR=e^iko'^R^e^lkR, (1.85)

K k

тобто сума у лівій частині має дорівнювати нулю, якщо тільки експонента не дорівнює одиниці для всіх векторів к₀. Єдиний вектор R ґратки Браве, для якого це можливо, це R = 0. Але тоді сума просто дає N.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

5. Побудуйте примітивну комірку та зону Бриллюена для двовимірної ґратки Браве,
що утворюється вузлами сітки правильних шестикутників.

6. Покажіть, що в кристалі можуть бути тільки поворотні осі симетрії другого,
третього, четвертого та шостого порядків.

Указівка. Поверніть кристал навкруги вісі, що проходить через деякий вузол ґра­тки Браве, і скористайтеся властивостями ґратки.

7. Дайте відповідь на запитання:

- Як будується зона Бриллюена?

- Чому дорівнює її об'єм?

- Які властивості симетрії кристалічної ґратки визначають структуру зони
Бриллюена?

- Скільки станів (дозволених векторів к) міститься у зоні Бриллюена?

Список літератури

1. Займай Дою. Принципьі теории твердого тела. - М: Мир, 1974.

2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. - М.: Мир, 1979. З.ДавьідовА.С. Теория твердого тела. - М.: Наука, 1976.

4. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Наука, 1978.

5. Neamen D. Semiconductor Physics and Devices. - N.Y.: McGraw-Hill, 2003.

6. Kasap S.O. Principles of Electronic Materials and Devices. -N.Y.: McGraw-Hill, 2005.