Додаток А. Теорема Блоха для вироджених систем 327

Напівпровідники, що є основою сучасної мікроелектроніки, нале­жать до великого класу твердих тіл, в яких атоми розташовуються впорядковано, або, іншими словами, утворюють кристалічну ґратку. Це означає, що завдяки розташуванню атомів у твердому тілі у вузлах періодичної ґратки електронні властивості великою мірою визнача­ються періодичним полем ґратки, яке діє на електронну підсистему. Таким чином, для адекватного опису електронних властивостей на­півпровідників необхідно розглянути деякі загальні риси періодичних структур. Класифікацією можливих типів кристалічних структур і визначенням кристалічної структури реальних твердих тіл займається кристалографія, основною ідеєю якої є така:

Ґратка Браве - нескінченна періодична структура, утворена дискретними точками, що має абсолютно однаковий прос­торовий порядок та орієнтацію незалежно від того, яку її точку обрано за вихідну.

······· Приклад двовимірної ґратки Браве

ρ подано на рис. 1.1.
*_а V Тривімірна ґратка Браве утворена

• · ' ε · · · всіма точками із радіус-векторами

• · · % · · · R ^{= П}і^аі + ^П2^а2 + ^ПЗ^аЗ > (¹·¹)

де a_z·, і =1, 2, 3 - будь-які три неком-планарні вектори, щ - будь-які цілі Рис. 1.1. Двовимірна ґратка Браве, числа, включаючи від'ємні та нуль, точки якої можна отримати як лінійні Про вектори а_г кажуть, що вони по-комбінації основних векторів _аі та а₂. роджують Ґратку або є основними Наприклад, Р = За_х + а₂, Q = -a_t - a₂ векторами. Суттєвим є те, що ґратка Браве має не тільки абсолютно однаковий просторовий порядок, але й те, що орієнтації векторів тут лишаються незмінними незалежно від того, яка точка приймається за вихідну. Вибір основних векторів ґратки Браве не є однозначним. На рис. 1.2 показано трійку основних векторів для об'ємноцентрованої кубічної ґратки Браве (зазвичай для неї використовують коротке позначення ОЦК ґратка). Вузли ґратки розташовані у вершинах куба та на перетинах його просторових діа­гоналей. Для отримання такої ґратки необхідно взяти всі лінійні ком-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

бінації основних векторів із цілими коефіцієнтами. Наприклад, для точки Ρ маємо Р= -аχ - а₂+ 2а₃. Рис. 1.3 ілюструє найбільш симетричний набір основних векторів для ОЦК ґратки (зеленим кольором позначено вузли, розташовані у центрі куба).

Рис. 1.3. Основні вектори для ОЦК ґратки

(симетризований набір)

У цьому випадку для точки Ρ ґратки можна записати Р=2а₁ + а₂ + а₃. На практиці набір основних векторів намагаються вибирати найбільш симетричним. Наприклад, за основні вектори вибирають:

♦ для простої кубічної ґратки

αχ, ay, az\ (1.2)

♦ для об'ємноцентрованої ґратки (рис. 1.3)

a

*!=~(Υ + Ζ

4^=:|(^ζ + ^χ У)> а₃=^(х + у ζ);

(1.3)

♦ для гранецентрованої кубічної ґратки (ГЦК ґратки)

a

*!=-(Υ + ζ)

a

^a2=:r(^{z + x}b a₃=-(x + y)

(1.4)

Рис. 1.4 ілюструє трійку основних век­торів (1.4) для гранецентрованої ґратки Браве, яка утворюється вузлами, що розташовані у вершинах куба (показано синім) та на перетині діагоналей усіх граней куба (показано зеленим). Нижче, як приклад, наведено спосіб отримання точок Р, Q, R, S ґратки за допомогою цих векторів: Р=а_х + а₂+ а₃, Q = 2а₂, і?=а₂+ а₃, S=— a_x + a₂+ а₃.

Паралелепіпед, побудований на трьох векторах а^називається елементарною коміркою ґратки. Якщо на ос­новних векторах г.{ побувати деякий об'єм простору, що будучи транс-

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

льований на всі вектора трансляції ґратки Браве заповнює щільно весь простір без самопересічень, такий об'єм називається примітивною ко­міркою. Якщо примітивна комірка містить один атом, то ґратка нази­вається простою, якщо більше одного атома, - ґратка є складною або ґраткою із базисом.. У загальному випадку елементарна комірка у формі паралелепіпеда не має симетрії кристалічної ґратки. Із нескінченної кі­лькості варіантів вибору примітивної комірки бажано вибирати таку, яка б відповідала симетрії кристалічної ґратки. Із цим завданням можна впоратись за допомогою побудови комірки Вігнера-Зейтца. Візьмемо деякий атом ґратки О і проведемо з нього відрізки до найближчих атомів, а через середини відрізків - перпендикулярні до них площини. Перетинання площин утворює деякий багатогранник, що утримує всередині точку О. Такий багатогранник називається коміркою Вігне­ра-Зейтца. Подібними комірками можна щільно заповнити весь простір кристала. На рис. 1.5 подано комірку Вігнера-Зейтца для двовимірних ґраток Браве. Шість боків комірки розсікають навпіл відрізки прямих, що з'єднують центральну точку із шістьма сусідніми (лінії показано пунктиром). У двовимірному випадку комірка Вігнера-Зейтця будь-якої ґратки, крім прямокутної, завжди є шестикутником. У три-вімірному випадку ситуація є складнішою.

#-—■■—-♦

Рис. 1.5. Комірка Вігнера-Зейтца для двовимірних ґраток Браве: а, б- прості ґратки; β - складна ґратка (ґратка із базисом)

На рис. 1.6 подано комірку Вігнера-Зейтца для ОЦК ґратки. Шести­кутні грані розсікають навпіл відрізки прямих, що з'єднують центральну точку із вершинами куба. Квадратні грані розсікають навпіл відрізки прямих, що з'єднують центральну точку із центральними точками кожної із шести сусідніх комірок.

На рис. 1.7 показано комірку Вігнера-Зейтца для ГЦК ґратки Браве. Кожна із 12 граней, що утворюють комірку, перпендикулярна прямій, яка з'єднує центральну точку куба із центром ребра та розсікає цей відрізок навпіл. Число найближчих атомів до даного, що знаходяться від нього на одній відстані d, називається координаційним числом Z. У будь-якій простій ґратці це число є однаковим для всіх її вузлів. У простій кубічній ґратці координаційне число Ζ = 6, і відстань d є

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

довжиною ребра куба а. В об'ємноцентрованій ґратці Z= 8, a d = V3a/2. У гранецентрованій кубічній ґратці Z= 12, d = V2a/2.

Рис. 1.6. Комірка Вігнера-Зейтца для ОЦК ґратки

Рис. 1.7. Комірка Вігнера-Зейтца для ГЦК ґратки

1.1.2. Класифікація ґраток Браее та кристалічних структур

З погляду симетрії ґратка Браве задається всіма жорсткими опера­ціями (за яких зберігаються відстані між: всіма точками ґратки), що переводять ґратку саму у себе. Сукупність таких операцій утворює групу симетрії або просторову групу ґратки Браве. До таких операцій належать усі трансляції на вектори ґратки, повороти, відбивання та інверсії. Будь-яку операцію симетрії ґратки Браве можна побудувати із трансляції на вектор R ґратки та жорсткої операції, що лишає нерухо­мою щонайменше одну точку ґратки. Продемонструємо це на прикладі простої кубічної ґратки, яка переходить сама у себе за повороту на кут 90° навколо вісі, що проходить через центр кубічної елементарної ко­мірки (на рис. 1.8 позначено червоною точкою). Така операція не залишає жодної точки ґратки нерухомою (див. верхній рядок рисунку). З іншого боку, цей результат можна отримати завдяки складній операції трансляції на вектор ґратки Браве та повороту навколо вісі, на якій знаходиться точка 1 ґратки (див. нижній рядок рисунку), тобто з елемента точкової симетрії, який залишає щонайменше одну точку ґратки нерухомою. Таким чином, повна група симетрії ґратки Браве складається лише з:

1) трансляції на вектори ґратки Браве;

2) операцій, що лишають нерухомою деяку точку ґратки;

3) операцій, які молена побудувати з елементів 1 та 2.

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

При вивченні симетрії ґратки часто щ 90%

90°

Рис. 1.8. Проста кубічна ґратка

розглядають не всю просторову групу ґратки Браве, а тільки операції, що зали­шають нерухомою деяку її точку. Цю під-множину повної групи симетрії ґратки Браве називають точковою групою ґратки Браве. Існують сім різних точкових груп, симетрії яких можуть відповідати симет­рії ґратки Браве. Це означає, що будь-яка кристалічна структура належить до однієї із семи кристалічних систем (сингоній) залежно від того, яка із точ­кових груп є групою її ґратки Браве. До таких кристалічних систем належать (у дужках позначено кількість типів ґраток даної сингонії, а на рисунках червоними точками - прямі кути):

Рис. 1.9. Кубічна система

ΖΖ·	7\
с _____ ·	Я

Рис. 1.10. Тетрагональна система

♦ кубічна система (3) (рис. 1.9), що містить три ґратки Браве (проста, об'ємноцентрована, гранецентрова-на), точкова група симетрії яких збігається із групою симетрії куба. У простій кубічній ґратці атоми крис­тала розташовані у вершинах кубів, з яких склада­ється кристал. Об'ємноцентрована кубічна ґратка, крім атомів у вершинах куба, має ще атом, розташо­ваний на перетині об'ємних діагоналей куба. У гранецентрованій ґратці атоми розташовуються у вершинах куба та на перетині діаго­налей усіх граней куба;

♦ тетрагональна система (2). Для зниження симетрії куба можна взяти його за протилежні грані та витягнути у пряму призму із квадратною основою та висотою, що не дорівнює сторонам квадрата. Вісь уздовж: цього напрямку назива­ють с-віссю (рис. 1.10). Група симетрії такого об'єк­та належить до тетрагональної групи. При цьому залежно від того, над якою кубічною ґраткою виконується просторова операція, можна отри­мати кристалічні структури тетрагональної гру­пи різного типу. Наприклад, при розтягуванні простої кубічної ґратки можна отримати просту тетрагональну ґратку Браве, а при розтягу­ванні об'ємно- або гранецентрованої ґратки - лише одну ґратку тет­рагональної системи - центровану тетрагональну ґратку.

Два способи представлення центрованої тетрагональної ґратки Браве (вигляд вздовж вісі с) подано на рис. 1.11. Сині точки позначають атоми, що лежать в атомній площині, перпендикулярній вісі с, а зелені - знаходяться у паралельній площині на відстані с/2 від першої. Якщо сині точки з'єднати так, як показано на рис. 1.11а, то вони утворять

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

Рис. 1.11. Способи представлення центрованої тетрагональної ґратки Браве

просту квадратну сітку. Ви­дно, що центрована тетра­гональна ґратка утворюється деформацією ОЦК ґратки. Якщо ж з'єднати точки ґра­тки так, щоб сині - лежали у вузлах центрованої квадра­тної ґратки (рис. 1.11 б), то зрозуміло, що центровану тетрагональну ґратку можна утворити також: із ГЦК ґратки;

Рис. 1.12. Ромбічна система

♦ ромбічна система (4). Для зниження тетраго­нальної симетрії можна перетворити квадратні грані об'єкта на прямокутники тетрагональної сис­теми (рис. 1.11). У результаті буде отримано об'єкт із трьома, взаємно перпендикулярними ребрами різ­ної довжини (рис. 1.12). Група симетрії такого об'єкта називається ромбічною. За допомогою витягування простої тетрагональної ґратки вздовж: однієї із α-вісей (див. перехід від рис. 1.13 а до рис. 1.13 б) можна отримати просту ромбічну ґратку. Якщо

просту тетрагональну ґратку витягувати вздовж: діагоналі квадрата основи (вздовж: напрямку α-α, рис. 1.13 а), то можна отримати іншу ґра­тку Браве із ромбічною точковою групою симетрії - базоцентровану ромбічну ґратку (див. перехід від рис. 1.13 а до рис. 1.13 в).

Рис. 1.13. Схема утворення ромбічної ґратки із тетрагональної

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

Таким самим шляхом у два способи можна знизити точкову симет­рію центрованої тетрагональної ґратки та перетворити її на ромбічну. Якщо розтягувати її вздовж: сторони квадрата (рис. 1.13 г), то можна отримати об'ємноцентровану ромбічну ґратку Браве (рис. 1.13 д), а якщо - вздовж: діагоналі квадратів (або, що те ж саме, уздовж: прямої α-α (рис. 1.13 г), - гранецентровану ромбічну ґратку (рис. 1.13 г);

Рис. 1.14. Монокпинна система

Рис. 1.15. Центрована моноклинна ґратка Браве. Вигляд уздовж с-вісі

♦ моноклинна система (2). Знизити симетрію ромбічної системи можна за допомогою пере­творення прямокутників, перпендикулярних с-вісі (рис. 1.12), на довільні паралелограми. У ре­зультаті буде отримано об'єкт із моноклинною симетрією (рис. 1.14). Деформуючи таким чином просту ромбічну ґратку, можна отримати просту моноклинну ґратку Браве. Такі деформації щодо базоцентрованої ромбічної ґратки Браве також: дають просту монок­линну просторову групу. Але якщо таким чином деформувати гране­центровану або об'ємноцентровану ромбічні ґратки, то виникає цен­трована моноклінна ґратка Браве (рис. 1.15), в якій атоми розташовуються на вершинах паралелепіпеда (показано синім) і в точці перетину його об'ємних діагоналей (показано зеленим);

♦ триклинна система (1). Якщо ж нахилити с-вісь щодо площини основи, то отримаємо фігуру, подану на рис. 1.16. Збурюючи таким чином будь-яку із моноклинних ґраток Браве, отримаємо триклинну ґратку Браве;

♦ тригональна система (1). Тригональна точкова група описує
симетрію об'єкта, що утворюється при розтягуванні куба вздовж: об'єм­
ної діагоналі (рис. 1.17);

♦ гексагональна система (1) Проста гексагональна ґратка Браве (із
симетрією правильної шестикутної призми) є єдиною у гексагональній
системі (рис. 1.18).

Рис. 1.16. Триклинна ґратка Браве

Такий перехід простіше продемонструвати на прикладі двовимірної ґратки (рис. 1.19). Запишемо координати точки М, що визначається век­тором

ом-ов+вм

|θΒ| = ξ_1? |ΒΜ| = ξ₂,

ОМ_х = х_х = ξ^οβφ + ξ₂8ΐηφ,

ОМ_х = х₂ = ξ^ίηφ + ξ₂οο8φ, звідки при розв'язанні системи рівнянь (1.11)—(1.12) отримаємо

с^ = сх_их₁ + сх₁₂^2 >

4>2 ⁼ ^21"^ "*~ ^а22"^2 '
СОБф ЗІпф

де позначено

соз(ф + ф) _ -coscp соб(Ф + ф)

Розділ 1. БЛБМБНТИ КРИСТАЛОГРАФІЇ

Таким чином, будь-яке розкладення типу (1.7), записане у довільній системі коорди­нат, можна записати у прямокутній сис темі координат

, (1.17)

bib₂b₃

^деЬі ⁼lL^kj^aji^laj · ^Якщо розглядати числа Ь_{

7=1

як компоненти деякого вектора Ь, то роз­кладення (1.17) можна записати у вигляді