Теоремы о сходящихся числовых рядах

Теорема. Если сходится ряд u ₁ + u ₂ + u ₃ + …, то сходится и ряд u_{m+ 1} + u_{m+ 2} + u_{m+ 3} + …, получаемый из данного ряда отбрасыванием первых m членов (этот последний ряд называют m-м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема. Если сходится ряд u ₁ + u ₂ + u ₃ + …, его суммой является число S, то сходится и ряд а · u ₁ + а · u ₂ + а · u ₃ + …, причем сумма последнего ряда равна а · S.

Теорема. Если сходятся ряды u ₁ + u ₂ + …; v ₁ + v ₂ +…, имеющие соответственно суммы S и S ₁, то сходится и ряд (u ₁ + v ₁ ) + (u ₂ + v ₂ ) + …, причем сумма последнего ряда равна S + S ₁.

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд u ₁ + u ₂ + u ₃ + … сходится, то , т. е. при n предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Теорема. (Первый признак сравнения). Пусть даны два ряда:

u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u_n + … (1)

v ₁ + v ₂ + v ₃ + … + v_n + … (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е.

u_n Ј v_n (n = 1, 2, …).

Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);

б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства u_n < v_n выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

Теорема. (Второй признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел , k ¹ 0, то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Теорема. (Признак Даламбера). Если для ряда u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u_n + … существует , то этот ряд сходится при D < 1 и расходится при D > 1.

Примеры. Исследовать сходимость рядов:

1)

Решение. Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Его сумма:

S = ; a = ; q = .

2)

Решение. Т.к. (не выполняется необходимый признак сходимости) => ряд расходится.

Выполнить задания:

1)Проверить, являются ли функции у решениями дифференциальных уравнений:

а) ;

б)

производная второго порядка.

2) Решить уравнения:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) .

3) При помощи признака сравнения установить сходимость или расходимость ряда:

4) Установить сходимость рядов по признаку Даламбера:

а)

б)