Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

, (1)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его (полагая, что ):

()

Считая у известной функцией от х, равенство () можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные дифференциалы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем:

. (2)

Мы получим соотношение, связывающее решение у, независимую переменную х и произвольную постоянную с т.е. получим общий интеграл уравнения (1).

Дифференциальное уравнение типа ():

(3)

называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его по доказанному есть

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными

Решение. Интегрируя, получим общий интеграл:

Уравнение вида

(4)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено (при условии, что ) к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение

или ,

т.е. к уравнению вида (3).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделяем переменные .

Интегрируя, находим , т. е. , или . Отсюда получаем общее решение:

Пример 3. Решите дифференциальное уравнение:

(1)

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что и, выполняя деление обеих частей уравнения на выражение , получим:

(2)

Выполним умножение обеих частей равенства (2) на dx, имеем:

(3)

Уравнение (3) является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрировав это уравнение, получим:

.

Используя таблицу неопределенных интегралов, имеем:

В данном решении удобно в качестве константы с взять т.е. положим, что . Тогда последнее равенство имеет вид:

По формуле получим:

Учитывая, что где , получим:

Итак, Получим общее решение исходного уравнения (1).

Пример 4. Решить задачу Коши:

Решение. Решить задачу Коши – это означает найти частный интеграл уравнения , удовлетворяющий начальному условию .

Полагая , перепишем данное уравнение в виде:

Интегрируем обе части уравнения:

Далее, используем начальное условие . Подставим в найденное общее решение уравнения:

Окончательно получаем искомое частное решение:

Числовые ряды. Основные понятия

Пусть u ₁, u ₂, u ₃, … u_n, …, где u_n = f (n) - бесконечная числовая последовательность. Выражение u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u _n, … называется бесконечным числовым рядом; а числа u ₁, u ₂, u ₃, … u _n, … - членами ряда; u_n = f (n) называется общим членом.

Ряд часто записывают в виде: = u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u_n.

Сумму первых n членов числового ряда обозначают S_n и называют n –ой частичной суммой ряда: S_n = u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u_n.

Определение. Ряд называется сходящимся, если его n -ая частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е. если .

Число S называют суммой ряда.

Определение. Если n -ая частичная сумма S_n при n не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Пример. Ряд a + a · q + a · q ² + … + a · q^{n- 1} + …, (где | q | < 1), составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

Его сумма .

Пример. Ряд называемый гармоническим, расходится.