Числовых рядов. Теоремы о сходящихся числовых рядах

РАЗДЕЛ V, VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Числовые ряды

Практическое занятие №14

Дифференциальные уравнения с разделенными

И разделяющимися переменными. Числовые ряды.

Основные понятия. Признаки сходимости

числовых рядов. Теоремы о сходящихся числовых рядах

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

В данной методической разработке рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. уравнения вида: .

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области D называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного дифференциального уравнения;

2) для любого начального условия такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.

Теорема Коши. Если функция непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственно, т.е. через точку проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.