Задача 4.1. Даны векторы , , и вектор . Доказать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) , , , ;

2) , , , ;

3) , , , ;

4) , , , ;

5) , , , ;

6) , , , ;

7) , , , ;

8) , , , ;

9) , , , ;

10) , , , ;

11) , , , ;

12) , , , ;

13) , , , ;

14) , , , ;

15) , , , ;

16) , , , ;

17) , , , ;

18) , , , ;

19) , , , ;

20) , , , ;

21) , , , ;

22) , , , ;

23) , , , ;

24) , , , ;

25) , , , ;

26) , , , ;

27) , , , ;

28) , , , ;

29) , , , ;

30) , , , .

Пример 4.1

Даны векторы , , и вектор . Доказать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе

Решение

Базисом в трехмерном векторном пространстве называется совокупность трех линейно независимых векторов, поэтому для доказательства того, что векторы , , образуют базис, необходимо доказать, что они линейно независимы.

Векторы , , линейно зависимы, если существуют такие числа a, b, g, не равные одновременно нулю, что

.

(4.1)

В противном случае векторы , , линейно независимы.

Записывая в выражение (4.1) координаты , , в виде вектор-столбцов, получим

.

Таким образом, задача доказательства линейной независимости сводится к решению системы

Решим систему методом Жордана – Гаусса

Итак, для данных векторов условие (4.1) выполняется только при , следовательно, векторы , , линейно независимые, т.е. они образуют базис в трехмерном векторном пространстве.

Любой вектор данного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса

,

(4.2)

где – координаты вектора в базисе , , , которые и требуется найти.

Записав координаты , , , в виде вектор–столбцов в выражении (4.2), составим систему

Данную систему решаем одним из известных способов (по формулам Крамера, матричным методом или методом Жордана – Гаусса) и получаем

.

Ответ: .