 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Граничные условия
|
|
На граничной поверхности раздела сред параметры 
скачкообразно изменяются. При этом, согласно выражениям (1.10): 
, 
, 
, неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия – соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла в интегральной форме для этого особого случая.
Вектор поля с произвольной ориентацией может быть представлен геометрической суммой двух составляющих: касательной и нормальной к граничной плоскости (рисунок 1.1). Определим соотношения между касательными составляющими векторов поля двух сред и нормальными составляющими.
· Граничные условия для касательных составляющих векторов поля
Предположим, что имеются две однородные среды, разделенные граничной поверхностью 
(рисунок 1.2), на которой могут возникать поверхностные электрические заряды, а также поверхностные электрические токи (то есть токи, текущие в бесконечно тонком поверхностном слое).
 |
Распределение зарядов и токов на границе будем характеризовать поверхностной плотностью заряда 
и вектором поверхностной плотности тока 
. Обозначим векторы поля в первой и второй средах 
и 
соответственно и найдем связь между ними.
Построим контур 
, пересекающий поверхность (рисунок 1.2). Применяя к этому контуру первое и второе уравнения Максвелла в интегральной форме, получаем
, (1.36)
, (1.37)
где 
– соответственно ток, электрический поток и магнитный поток через поверхность контура.
Если стороны 
и 
прижимать к границе так, что площадь обращается в ноль, то в пределе 
. Однако величина 
, при наличии на поверхностных токов, в нуль не обращается, ибо деформированный (сжатый) контур все равно будет охватывать ток.
Пусть расстояние от точки 
до точки 
равно 
. Вводя далее вектор 
, где 
– орт касательной к стороне сжатого контура, из уравнения (1.36), получаем
,
где 
– орт нормали к поверхности контура.
Отсюда следует, что на поверхности
, но 
,
тогда
или 
.
Учитывая, что
,
получаем
. (1.38)
Таким образом, при переходе через границу с поверхностным током касательная составляющая вектора 
испытывает скачок. Величина этого скачка равна поверхностной плотности тока 
. Если поверхностных токов на граничной поверхности нет, то равенство (1.38) принимает вид
,
откуда вытекает, что
. (1.39)
Во второе уравнение Максвелла электрические токи непосредственно не входят, поэтому независимо от того, есть или нет поверхностный ток, из (1.37) получаем
. (1.40)
На границе раздела реальных сред касательные составляющие векторов 
и всегда непрерывны.
· Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля
Рассмотрим на границе раздела сред , которая в общем случае может быть заряжена с поверхностной плотностью , площадку 
настолько малой величины, чтобы можно было положить равномерно распределенными на ней заряд и векторы поля (рисунок 1.3). Затем построим цилиндр высотой 
так, чтобы рассматриваемая площадка представляла его поперечное сечение. Тогда, применяя к области, заключенной в цилиндре, третье уравнение Максвелла (1.31), получаем
. (1.41)
 |
Рисунок 1.3 – К выводу граничных условий для нормальных
составляющих векторов поля
Поток вектора 
через замкнутую поверхность цилиндра состоит из потоков через основания цилиндра в первой 
и второй 
средах и потока через всю боковую поверхность цилиндра - 
, то есть
.
Устремим высоту цилиндра к нулю 
. Тогда поток через боковую поверхность 
, так как поверхность 
. При этом также 
, а 
. Следовательно, при условии, что 
будем иметь
или 
,
. (1.42)
Нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда. Поверхностный заряд может образоваться на поверхности проводника в электростатическом поле. В переменном электромагнитном поле такие заряды возможны лишь на поверхности идеальных проводников. Поэтому при переменных полях в реальных средах нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе не меняется
или 
.
Используя четвертое уравнение Максвелла для магнитной индукции (1.34), рассуждая аналогичным образом, получаем
или 
.
Нормальные составляющие векторов магнитной индукции на границе раздела сред равны друг другу.
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 648 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
