Обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея

По Фарадею, если через поверхность , ограниченную проводящим контуром , проходит меняющийся по времени магнитный поток, то в контуре возникает электродвижущаяся сила индукции. Обобщение закона по Максвеллу заключается в отказе от ограничения, наложенного на него словами “проводящий” контур. Согласно Максвеллу соотношение

выполняется для всякого контура независимо от того, является ли этот контур проводящим или произвольно выбранным в диэлектрической среде. То есть, меняющееся во времени магнитное поле вызывает (независимо от параметров среды) электрическое вихревое поле.

Поток вектора магнитной индукции по аналогии с потоком вектора электрической индукции можно записать в виде

,

тогда второе уравнение Максвелла в интегральной форме – обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея запишется в следующем виде

. (1.29)

Для перехода к дифференциальной форме применяем теорему Стокса

.

Так как – произвольная поверхность, равенство интегралов возможно только при равенстве подынтегральных выражений

. (1.30)

Ротор вектора напряженности электрического поля в любой его точке равен по величине и противоположен по знаку скорости изменения вектора магнитной индукции в этой точке. Таким образом, электрическое поле создается как электрическими зарядами, так и любым изменением во времени вектора магнитной индукции.

1.3.3. Третье уравнение Максвелла – обобщенный закон Гаусса

Поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности

. (1.31)

Это соотношение известно из электростатики как теорема Гаусса. Оно было обобщено Максвеллом на случай полей, произвольно зависящих от времени. Уравнение устанавливает, что электрические заряды служат истоками и стоками электрического поля, линии электрической индукции выходят из областей, содержащих положительные заряды, и входят в области, где находятся отрицательные заряды.

Связь между объемной плотностью электрического заряда и вектором электрической индукции устанавливается обобщенной теоремой Гаусса в дифференциальной форме. Дифференциальную форму теоремы Гаусса можно получить из интегральной, используя теорему Гаусса-Остроградского

. (1.32)

Равенство (1.32) сохраняется при произвольном объеме , следовательно, равны и подынтегральные выражения

. (1.33)

В каждой точке поля дивергенция вектора равна объемной плотности электрического заряда.

Дивергенция вектора есть величина, инвариантная по отношению к преобразованию координат, хотя форма ее записи в разных координатных системах различна. (Величины, не меняющие своего значения при преобразовании координат, называются инвариантными.)

1.3.4. Четвертое уравнение Максвелла –