F-статистика

Снова предположим, что мы находимся в рамках нормальной линейной регрессионной модели. Из (26) и (27) имеем

;

.

Ранее мы показали, что S² и – независимые случайные величины, поэтому по определению распределений Фишера получаем

. (34)

Полученную F-статистику можно использовать для проверки нулевой гипотезы H_o: b = b_o = 0. При этой гипотезе статистика (34) выглядит следующим образом:

(b – b_o)²å x_t²;

. (35)

Если нулевая гипотеза справедлива, то значение F в (35) мало. Таким образом, мы отвергаем нулевую гипотезу, если F превосходит критическое значение F_кр (1, n-2) распределения Фишера с параметрами (1, n-2) для выбранного уровня значимости a.

Статистика уравнения (35) особенно просто выглядит для гипотезы H_o: b=0 (случай отсутствия линейной функциональной связи между X и Y). Преобразуя числитель следующим образом:

(36)

получим (в векторных обозначениях для отклонений)

. (36’)

Сравнивая (32) с (35), мы видим, что F = t², т.е. проверка гипотезы с использованием t- и F-статистик дает в данном случае (для одномерной регрессионной модели) тождественные результаты.

Нетрудно заметить, что, переписывая определение R²-статистики (18) в отклонениях, имеем

. (37)

Используя уравнения (36) и (37), получаем следующее соотношение, связывающее R²- и F-статистики:

. (38)

Не удивительно, что малым значениям F (отсутствие значимой функциональной связи X и Y) соответствуют малые значения R² (плохая аппроксимация данных).