Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определим, насколько тесно связаны между собой зависимая и независимая величины y и x. Для этого рассмотрим коэффициент корреляции
. (15)
Коэффициент корреляции является относительной мерой связи между двумя переменными, поэтому значения коэффициента корреляции всегда находятся, как видно из (15), между –1 и +1 (-1£rxy£1). Положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о наличии прямой, а отрицательное – обратной связей между переменными. Когда коэффициент корреляции стремится по абсолютной величине к единице, это говорит о наличии сильной связи (rxy ®±1) – теснота связи велика, в противном случае, когда коэффициент корреляции стремится к 0, – связь отсутствует.
Анализ вариации зависимой переменной в регрессии. Коэффициент детерминации
Рассмотрим вариацию (разброс) значений Yt вокруг среднего значения. Разобьем эту вариацию на две части: объясненную регрессионным уравнением и не объясненную (связанную с ошибками).
Обозначим через предсказанное значение Yt, тогда (рис. 7) и вариация Yt можно представить в виде трех слагаемых:
(16)
Yt
Yt -Yt
Yt Yt -Y
Yt -Y
Yt
Xt
Рис. 7
Третье слагаемое в формуле (16) равно нулю, так как – вектор остатков регрессии ортогонален константе S и вектору X. В самом деле,
Поэтому верно равенство
. (17)
SST SSE SSR
Обозначим левую часть в (17) через SST – общая сумма квадратов (вся дисперсия), первое слагаемое в правой части, соответствующее необъясненной дисперсии (сумма квадратов ошибок), – через SSE, второе слагаемое в правой части – SSR – объясняющая часть регрессии (сумма квадратов, объясняющих регрессию).
Статистика R2 – коэффициент детерминации
Коэффициентом детерминации, или долей объясняющей дисперсии является
R2 = 1 – SSE / SST = SSR / SST. (18)
R2 принимает значения между 0 и 1, 0 £ R2 £ 1.
Если R2 = 0, то это значит, что регрессия ничего не дает, т.е. Xt не улучшает качества предсказания Yt по сравнению с тривиальным предсказанием Yt = Y.
Другой крайний случай R2 =1 означает точную подгонку: все точки наблюдений лежат на регрессионной прямой (все et = 0).
Чем ближе к единице значение R2, тем лучше качество подгонки.
Связь между коэффициентом корреляции и коэффициентом детерминации
По определению, коэффициент детерминации равен
R2 = SSR / SST (19)
Напомним, что
SST = , (20)
SSR = . (21)
Перепишем (21) в виде
. (22)
Тогда
R2 = SSR / SST = . (23)
Учитывая, что
, (24)
коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:
R2 = r2. (25)
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 2107 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!