Тема 6. Ряди динаміки

Процес розвитку соціально-економічних явищ у часі в статистиці прийнято називати динамікою. Для її вивчення складаються та аналізу­ються ряди динаміки.

Ряд динаміки — це впорядкований у часі ряд статистичних показ­ників для вивчення процесу розвитку і зміни у часі соціально-економічних явищ. Ряд динаміки складається з періодів часу або хроно­логічних дат (t) і конкретних значень відповідних статистичних показ­ників, тобто рівнів (у).

Для глибокого розуміння суті рядів динаміки їх класифікують за різними ознаками. Розрізняють два ос­новних види рядів динаміки:

- моментні

- інтервальні.

Слід пам'ятати, що знання класифікації рядів динамі­ки сприяє не тільки засвоєнню їх суті, але й правильному їх використанню. Залежно від форми вираження статистичного показника рівнів рядів динаміки розрізняють ряди динаміки абсолютних, відносних і середніх величин. Особливості рядів динаміки суттєво впливають на методи обчислення узагальнюючої характеристи­ки — середнього рівня ряду динаміки у.

В інтервальному ряді динаміки абсолютних величин з однаковими періодами часу середній рівень визначається за формулою середньої арифметичної простої

,

де n — число рівнів ряду динаміки.

У моментному ряді динаміки абсолютних величин з рівними про­міжками часу між моментами середній рівень обчислюється за форму­лою середньої хронологічної:

.

За умови нерівних відрізків часу між моментами у моментному ряді ди­наміки або нерівних періодів часу в інтервальному ряді динаміки абсо­лютних величин середній рівень обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої:

,

де — середній рівень для окремих відрізків або періодів часу;

t_i — тривалість відрізків часу.

У процесі аналізу ряду динаміки обчислюють абсолютні і відносні аналітичні показники, які дають змогу виявити і визначити характер, напрям та інтенсивність змін соціально-економічних явищ за окремі відрізки часу і за весь досліджуваний період: абсолютний приріст, темпи зростання і приросту, абсолютне значення 1% приросту.

Обчислення абсолютного приросту, темпів зростання і приросту грунтується на зіставленні рівнів ряду динаміки. При цьому рівень, з яким роблять зіставлення, називається базисним. За базу зіставлення беруть або початковий рівень y_о, або попередній у_і-1. Якщо кожний рівень зіставляють з попереднім (база порівняння змінна), то такі по­казники називаються ланцюговими. Коли всі рівні ряду динаміки по­рівнюються з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то от­римані показники називаються базисними.

Абсолютний приріст Δ показує, на скільки одиниць власного вимі­рювання підвищився або знизився рівень за певний проміжок часу, тоб­то характеризує абсолютну швидкість зміни рівнів ряду динаміки. Він обчислюється як різниця рівнів ряду динаміки

Δ_л = у_і - у_і-1 — ланцюговий;

Δ_б = у_і - y₀ — базисний.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період, тобто кінцевому базисному приросту

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулами

або

Середній абсолютний приріст показує, на скільки в середньому за одиницю часу (у середньому щорічно, щоквартально, щомісячно і т.п.) у досліджуваний період змінювались рівні ряду динаміки.

Темп зростання k є відносною характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки, тобто він характеризує відносну швидкість їх зміни. Його обчислюють, зіставляючи два рівні ряду динаміки

- ланцюговий; - базисний.

Обчислений таким чином темп зростання виражається у коефі­цієнтах і іноді називається коефіцієнтом зростання. Якщо співвідношення помножити на 100, то він буде виражений у відсотках. Вибір форми вираження показника відносної швидкості зміни рівнів ряду ди­наміки - коефіцієнтів зростання або темпів зростання - визначається зручністю і простотою його застосування. Наприклад, якщо коефіцієнт зростання не перевищує 2, його зручніше виразити у процентах, у виг­ляді темпу зростання. Якщо ж він досить великий, зручніше користува­тися коефіцієнтом зростання.

Між ланцюговими і базисними коефіцієнтами зростання існує певний зв'язок:

І. Добуток кількох послідовних ланцюгових коефіцієнтів зростан­ня дорівнює базисному коефіцієнту зростання:

2. Відношення наступного базисного коефіцієнта зростання до попереднього дорівнює відповідному ланцюговому коефіцієнту зрос­тання:

Середній коефіцієнт зростання обчислюють за формулою середньої геометричної

або

Середній коефіцієнт зростання показує, у скільки разів у середнь­ому за одиницю часу (у середньому щорічно, щоквартально, щомісячно і т.д.) за даний період змінювалися рівні ряду динаміки.

Для обчислення середнього коефіцієнта зростання різних за три­валістю відрізків часу застосовується середня геометрична зважена

де k₁, k₂, k₃, …,k_i, …, k_n - коефіцієнти зростання за певний період;

t₁, t₂, t₃, …,t_i, …, t_n - тривалість окремих періодів.

Середній темп зростання являє собою середній коефіцієнт зрос­тання, виражений у процентах, тобто

Теми приросту ТП обчислюють як відношення абсолютного при­росту до рівнів ряду динаміки, взятих за базу, і він може бути ланцюго­вим ТП_л і базисним ТП_б, тобто

;

Темп приросту можна обчислити відніманням від темпів зростан­ня величини 100.

Середній теми приросту ТП обчислюється як різниця між середнім темпом зростання і величиною 100.

Середній темп приросту показує, на скільки процентів у середньо­му за одиницю часу змінювалися рівні часового ряду за весь досліджуваний період. Для визначення середньорічних темпів зростання або зниження зручно користуватися спеціальними таблицями. Для при­близних розрахунків середніх коефіцієнтів зростання можна використа­ти формулу:

Абсолютне значення одного проценту приросту А% показує, що являє собою в абсолютному вираженні кожний процент приросту, який реальний зміст він має. Він обчислюється діленням aбcoлютнoго приросту на темп приросту за той самий період

,

тобто абсолютне значення одного процента приросту дорівнює одному проценту величини попереднього рівня часового ряду.

Середнє значення одного процента приросту обчислюється ділен­ням середнього абсолютного приросту на середній темп приросту за той самий період.

Для порівняння інтенсивності змін у часі одного ряду динаміки з іншим, зокрема багатомірних рядів динаміки, що відображають динамі­ку значень або одного і того самого показника, що відноситься до різних об'єктів, територій або різних показників, що відносяться до одного і того самого об'єкта, території, застосовується коефіцієнт випередження k_В, який обчислюється як відношення базисних темпів зростання двох рядів динаміки за однакові відрізки часу, тобто

,

де k₁ і k₂ — відповідно базисні темпи зростання першого і другого рядів динаміки.

Якщо відрізки часу, що охоплюють два ряди динаміки, різні, то коефіцієнт випередження обчислюється на основі середніх темпів зрос­тання так:

де n — тривалість осереднюваного періоду.

Коефіцієнт випередження показує, у скільки разів швидше зростає рівень одного ряду динаміки порівняно з іншим.

Одним з найважливіших завдань обробки й аналізу рядів динамі­ки є виявлення тієї або іншої закономірності зміни їх рівнів, тобто ос­новної тенденції їх розвитку. Тенденція — це певний напрям розвитку, тривала еволюція, яка має характер росту, стабільності або зниження рівнів явища.

Для визначення основної тенденції розвитку в статистиці застосо­вують цілий ряд методів, таких як метод плинних середніх, метод аналі­тичного вирівнювання або метод найменших квадратів. Серед цих ме­тодів найбільш ефективним є метод аналітичного вирівнювання. Суть цього методу полягає в тому, що тенденція розвитку описується деякою математичною функцією від часу t, тобто Yt = f[t). Ця функція нази­вається рівнянням тренду. Вона дозволяє здійснити заміну фактичних рівнів у ряду динаміки так званими вирівняними або теоретичними зна­ченнями Y, тобто рівнями, обчисленими на основі даної функції. При застосуванні аналітичною вирівнювання найчастіше використовується лінійна функція Υ = а + bt, де параметр а — рівень ряду динаміки при t = 0; параметр b характеризує середню абсолютну швидкість зміни вирівняних рівнів часового ряду; t — порядковий номер періоду, або мо­менту часу.

Завдання полягає у тому, щоб у наведеному рівнянні знайти па­раметри а і b, які задовольняють основній вимозі методу найменших квадратів, згідно з якою сума квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду динаміки від теоретичних Y має бути мінімальною

Знаходять ці параметри за допомогою складання і розв'язування такої системи нормальних рівнянь:

;

,

де n — кількість рівнів ряду динаміки.

Розв'язування цієї системи спрощується, якщо відлік значень t пе­ренести у середину ряду динаміки, що вивчається. У цьому випадку , система рівнянь спрощується і параметри а і b обчислюються за формулами

; .

Для визначення значень t, щоб отримати , можна викори­стати такі формули:

- при непарному числі членів ряду динаміки,

- при парному числі членів ряду динаміки,

де k_і — порядковий номер періоду, або моменту часу.

Для обчислення можна використати такі формули:

- при непарному числі членів ряду динаміки;

- при парному числі членів ряду динаміки.

Розглянемо приклади визначення деяких показників.

Приклад 4.

Таблиця 9

Розрахунок ланцюгових та базисних абсолютних приростів, темпів зростання та приросту

Роки	Вироблено електроенергії (млн.кВт.год)	Абсолютний приріст (млн.кВт.год)	Темпи зростання (коефіцієнти)	Темпи приросту, %
ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні
		-	-	-	-	-
				1,080	1,080	8,0	8,0
				1,071	1,160	7,1	16,0
				1,068	1,230	6,8	23,0
Разом		å=174		П=1,230

Приклад 5

Таблиця 10

Вирівнювання динамічного ряду методом сковзних сум та сковзних середніх

Роки	Кількість туристів, що скористалися послугами турфірм, тис. чол.	Трирічна сковзна сума, тис. чол.	Трирічна сковзна середня, тис. чол.
	15,6	-	-
	16,0	50,5	16,8
	18,9	50,6	16,9
	15,7	54,6	18,2
	20,0	55,3	18,4
	19,6	59,4	19,8
	19,8	60,9	20,3
	21,5	61,3	20,4
	20,0	68,8	22,9
	27,3	71,7	23,9
	24,4	79,9	26,6
	28,2	80,5	26,8
	27,9	89,2	29,7
	33,1	93,7	31,2
	32,7	-	-