Тема 6. Ряди динаміки

Процес розвитку соціально-економічних явищ у часі в статистиці прийнято називати динамікою. Для її вивчення складаються та аналізу­ються ряди динаміки.

Ряд динаміки — це впорядкований у часі ряд статистичних показ­ників для вивчення процесу розвитку і зміни у часі соціально-економічних явищ. Ряд динаміки складається з періодів часу або хроно­логічних дат (t) і конкретних значень відповідних статистичних показ­ників, тобто рівнів (у).

Для глибокого розуміння суті рядів динаміки їх класифікують за різними ознаками. Розрізняють два ос­новних види рядів динаміки:

- моментні

- інтервальні.

Слід пам'ятати, що знання класифікації рядів динамі­ки сприяє не тільки засвоєнню їх суті, але й правильному їх використанню. Залежно від форми вираження статистичного показника рівнів рядів динаміки розрізняють ряди динаміки абсолютних, відносних і середніх величин. Особливості рядів динаміки суттєво впливають на методи обчислення узагальнюючої характеристи­ки — середнього рівня ряду динаміки у.

В інтервальному ряді динаміки абсолютних величин з однаковими періодами часу середній рівень визначається за формулою середньої арифметичної простої

,

де n — число рівнів ряду динаміки.

У моментному ряді динаміки абсолютних величин з рівними про­міжками часу між моментами середній рівень обчислюється за форму­лою середньої хронологічної:

.

За умови нерівних відрізків часу між моментами у моментному ряді ди­наміки або нерівних періодів часу в інтервальному ряді динаміки абсо­лютних величин середній рівень обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої:

,

де — середній рівень для окремих відрізків або періодів часу;

t_i — тривалість відрізків часу.

У процесі аналізу ряду динаміки обчислюють абсолютні і відносні аналітичні показники, які дають змогу виявити і визначити характер, напрям та інтенсивність змін соціально-економічних явищ за окремі відрізки часу і за весь досліджуваний період: абсолютний приріст, темпи зростання і приросту, абсолютне значення 1% приросту.

Обчислення абсолютного приросту, темпів зростання і приросту грунтується на зіставленні рівнів ряду динаміки. При цьому рівень, з яким роблять зіставлення, називається базисним. За базу зіставлення беруть або початковий рівень y_о, або попередній у_і-1. Якщо кожний рівень зіставляють з попереднім (база порівняння змінна), то такі по­казники називаються ланцюговими. Коли всі рівні ряду динаміки по­рівнюються з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то от­римані показники називаються базисними.

Абсолютний приріст Δ показує, на скільки одиниць власного вимі­рювання підвищився або знизився рівень за певний проміжок часу, тоб­то характеризує абсолютну швидкість зміни рівнів ряду динаміки. Він обчислюється як різниця рівнів ряду динаміки

Δ_л = у_і - у_і-1 — ланцюговий;

Δ_б = у_і - y₀ — базисний.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період, тобто кінцевому базисному приросту

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулами

або

Середній абсолютний приріст показує, на скільки в середньому за одиницю часу (у середньому щорічно, щоквартально, щомісячно і т.п.) у досліджуваний період змінювались рівні ряду динаміки.

Темп зростання k є відносною характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки, тобто він характеризує відносну швидкість їх зміни. Його обчислюють, зіставляючи два рівні ряду динаміки

- ланцюговий; - базисний.

Обчислений таким чином темп зростання виражається у коефі­цієнтах і іноді називається коефіцієнтом зростання. Якщо співвідношення помножити на 100, то він буде виражений у відсотках. Вибір форми вираження показника відносної швидкості зміни рівнів ряду ди­наміки - коефіцієнтів зростання або темпів зростання - визначається зручністю і простотою його застосування. Наприклад, якщо коефіцієнт зростання не перевищує 2, його зручніше виразити у процентах, у виг­ляді темпу зростання. Якщо ж він досить великий, зручніше користува­тися коефіцієнтом зростання.

Між ланцюговими і базисними коефіцієнтами зростання існує певний зв'язок:

І. Добуток кількох послідовних ланцюгових коефіцієнтів зростан­ня дорівнює базисному коефіцієнту зростання:

2. Відношення наступного базисного коефіцієнта зростання до попереднього дорівнює відповідному ланцюговому коефіцієнту зрос­тання:

Середній коефіцієнт зростання обчислюють за формулою середньої геометричної

або

Середній коефіцієнт зростання показує, у скільки разів у середнь­ому за одиницю часу (у середньому щорічно, щоквартально, щомісячно і т.д.) за даний період змінювалися рівні ряду динаміки.

Для обчислення середнього коефіцієнта зростання різних за три­валістю відрізків часу застосовується середня геометрична зважена

де k₁, k₂, k₃, …,k_i, …, k_n - коефіцієнти зростання за певний період;

t₁, t₂, t₃, …,t_i, …, t_n - тривалість окремих періодів.

Середній темп зростання являє собою середній коефіцієнт зрос­тання, виражений у процентах, тобто

Теми приросту ТП обчислюють як відношення абсолютного при­росту до рівнів ряду динаміки, взятих за базу, і він може бути ланцюго­вим ТП_л і базисним ТП_б, тобто

;

Темп приросту можна обчислити відніманням від темпів зростан­ня величини 100.

Середній теми приросту ТП обчислюється як різниця між середнім темпом зростання і величиною 100.

Середній темп приросту показує, на скільки процентів у середньо­му за одиницю часу змінювалися рівні часового ряду за весь досліджуваний період. Для визначення середньорічних темпів зростання або зниження зручно користуватися спеціальними таблицями. Для при­близних розрахунків середніх коефіцієнтів зростання можна використа­ти формулу:

Абсолютне значення одного проценту приросту А% показує, що являє собою в абсолютному вираженні кожний процент приросту, який реальний зміст він має. Він обчислюється діленням aбcoлютнoго приросту на темп приросту за той самий період

,

тобто абсолютне значення одного процента приросту дорівнює одному проценту величини попереднього рівня часового ряду.

Середнє значення одного процента приросту обчислюється ділен­ням середнього абсолютного приросту на середній темп приросту за той самий період.

Для порівняння інтенсивності змін у часі одного ряду динаміки з іншим, зокрема багатомірних рядів динаміки, що відображають динамі­ку значень або одного і того самого показника, що відноситься до різних об'єктів, територій або різних показників, що відносяться до одного і того самого об'єкта, території, застосовується коефіцієнт випередження k_В, який обчислюється як відношення базисних темпів зростання двох рядів динаміки за однакові відрізки часу, тобто

,

де k₁ і k₂ — відповідно базисні темпи зростання першого і другого рядів динаміки.

Якщо відрізки часу, що охоплюють два ряди динаміки, різні, то коефіцієнт випередження обчислюється на основі середніх темпів зрос­тання так:

де n — тривалість осереднюваного періоду.

Коефіцієнт випередження показує, у скільки разів швидше зростає рівень одного ряду динаміки порівняно з іншим.

Одним з найважливіших завдань обробки й аналізу рядів динамі­ки є виявлення тієї або іншої закономірності зміни їх рівнів, тобто ос­новної тенденції їх розвитку. Тенденція — це певний напрям розвитку, тривала еволюція, яка має характер росту, стабільності або зниження рівнів явища.

Для визначення основної тенденції розвитку в статистиці застосо­вують цілий ряд методів, таких як метод плинних середніх, метод аналі­тичного вирівнювання або метод найменших квадратів. Серед цих ме­тодів найбільш ефективним є метод аналітичного вирівнювання. Суть цього методу полягає в тому, що тенденція розвитку описується деякою математичною функцією від часу t, тобто Yt = f[t). Ця функція нази­вається рівнянням тренду. Вона дозволяє здійснити заміну фактичних рівнів у ряду динаміки так званими вирівняними або теоретичними зна­ченнями Y, тобто рівнями, обчисленими на основі даної функції. При застосуванні аналітичною вирівнювання найчастіше використовується лінійна функція Υ = а + bt, де параметр а — рівень ряду динаміки при t = 0; параметр b характеризує середню абсолютну швидкість зміни вирівняних рівнів часового ряду; t — порядковий номер періоду, або мо­менту часу.

Завдання полягає у тому, щоб у наведеному рівнянні знайти па­раметри а і b, які задовольняють основній вимозі методу найменших квадратів, згідно з якою сума квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду динаміки від теоретичних Y має бути мінімальною

Знаходять ці параметри за допомогою складання і розв'язування такої системи нормальних рівнянь:

;

,

де n — кількість рівнів ряду динаміки.

Розв'язування цієї системи спрощується, якщо відлік значень t пе­ренести у середину ряду динаміки, що вивчається. У цьому випадку , система рівнянь спрощується і параметри а і b обчислюються за формулами

; .

Для визначення значень t, щоб отримати , можна викори­стати такі формули:

- при непарному числі членів ряду динаміки,

- при парному числі членів ряду динаміки,

де k_і — порядковий номер періоду, або моменту часу.

Для обчислення можна використати такі формули:

- при непарному числі членів ряду динаміки;

- при парному числі членів ряду динаміки.

Розглянемо приклади визначення деяких показників.

Приклад 4.

Таблиця 9

Розрахунок ланцюгових та базисних абсолютних приростів, темпів зростання та приросту

Роки	Вироблено електроенергії (млн.кВт.год)	Абсолютний приріст (млн.кВт.год)	Темпи зростання (коефіцієнти)	Темпи приросту, %
ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні
		-	-	-	-	-
				1,080	1,080	8,0	8,0
				1,071	1,160	7,1	16,0
				1,068	1,230	6,8	23,0
Разом		å=174		П=1,230

Приклад 5

Таблиця 10

Вирівнювання динамічного ряду методом сковзних сум та сковзних середніх