Логистическая модель роста и элементы теории нелинейных систем

Заменим на частично линейные системы.

Методом решения (одним из возможных) нелинейных систем является их линеаризация, т.е. замена нелинейных функций на кусочно линейную аппроксимацию.

Линейная модель роста.

x_t+1 = x_t (1+g)

g – коэффициент прироста.

x_t – численность населения в доле от х_max

x_t+1 = x_t(1- x_t) (1)

- интенсивность роста.

f(х)= х(1-х)

f^/(х)=0 -2 х=0 х=1/2

f(1/2)= *1/2*1/2= /4

0≤ x_t+1 ≤1 0≤ /4≤1 0≤ ≤4

₌ (1- ) =0

1= (1- ) =1-1/

Рассмотрим поведение системы при различных значениях параметров .

если á2

плавная сходимость к - неподвижной

точке

Если 2≤ ≤3

Чтобы найти периодические решения системы графически необходимо воспользоваться следующим способом.

Если есть периодическое решение с периодом 2, то

х₂=f(х₁)

х₁=f(х₂)

МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА СОЛОУ

ВВП
Польша
Словения
США
Россия
Украина
Китай

Y_t=F(L_t, K_t)

L_t+1=L_t(1+n)

K_t+1=(1+d)K_t+I_t

I_t=S

y_t=

y_t=f(k_t)

i_t=

- делим 2-е уравнение на

- уравнение для процесса накопления капитала в обществе на душу населения.