Его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов a, b, c, составленное следующим образом: (a×b)∙с –

здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл выражения (a×b)∙с

d

H c

b S

Имеем: (a×b)∙с = │d│пр_dс; │d│= │a×b │= S

Таким образом смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах. Взятых со знаком «+», если они образуют правую тройку и со знаком «-», если левую тройку.

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение трех векторов равно 0, если

а) хотя бы один из векторов равен 0

б)два из перемножаемых вектора коллинеарны

в)три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны)

2) Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного:

(a×b)с = a (b×с)

3) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:

bac=-abc; cba=-abc; acb=-abc

а = а_хi + а_yj + а_zk