Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, является он элементом этого множества или нет

Если конечное множество состоит из элементов , то пишут . Этот способ называется перечисление. Однако, перечислением можно задать только множества, состоящие из конечного числа элементов, которые так и называют – конечными. Чтобы задать множество также можно указать характеристическое свойство элементов множества. Например, запись означает, что – это множество натуральных чисел , меньших 2003. Выражение значит, что – это множество корней квадратного уравнения , то есть . Этот способ может быть применен и для конечных и для бесконечных множеств.

Таким образом, одно и то же множество можно задать несколькими способами: указанием характеристического свойства или перечислением.

Если ни один объект не обладает свойством, определяющим множество A, то говорят, что это множество пустое и пишут . Например, пустым является множество студентов, возраст которых пять лет или множество действительных решений уравнения .

В математике чаще всего приходится работать с множествами, элементы которых числа. Такие множества называются числовыми. Для часто встречающихся числовых множеств приняты стандартные обозначения:

- множество натуральных чисел (1, 2, 3, …).

- множество целых чисел ().

- множество рациональных чисел (целые числа, обыкновенные, конечные или периодические десятичные дроби, например, , , 1,25).

- множество действительных чисел (рациональные и иррациональные: , , е).