Интервальные оценки

Определение 25. Интервал (q – d, q + d), в пределах которого с вероятностью g находится оцениваемый параметр генеральной совокупности q ₀, называется доверительным интервалом. Значение g называется доверительной вероятностью или надежностью оценки; предельная погрешность d – точность оценки.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определяется следующим образом:

причем, если стандартное отклонение этого распределения известно, то

;

если стандартное отклонение неизвестно, то

Здесь число t определяется из равенства F (t) = g / 2; t_g находится по таблице коэффициентов Стьюдента при заданных n и g (таблица № 4 Приложений); s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервальной оценкой (с надежностью g) стандартного отклонения s ₀ нормально распределенного количественного признака X по исправленному выборочному стандартному отклонению s служит доверительный интервал

s ×(1 – q) < s ₀ < s ×(1 + q) при q < 1,

0 < s ₀ < s ×(1 + q) при q > 1,

где q = q (n;g) определяется по таблице № 5 Приложений.

Задача. По данным выборки найти доверительные интервалы для оценок с надежностью g = 0,95 неизвестных математического ожидания a и стандартного отклонения s нормально распределенного признака X генеральной совокупности. Построить полигон частот по данным выборки:

xi	–2
ni

Решение.

1) Найдем объем выборки

.

2) Найдем выборочную среднюю

3) Вычислим дисперсию

4) Вычислим «исправленную» дисперсию и «исправленное» стандартное отклонение

5) Определим по таблице № 4 Приложений величину t_g = t (n, g) = = 2,26, так как n = 10 и g = 0,95.

6) Искомый доверительный интервал для математического ожидания a имеет вид

причем (поскольку стандартное отклонение s ₀ генеральной совокупности неизвестно).

Следовательно, 2 – 1,718 < a < 2 + 1,718 или 0, 282 < а < 3,718.

7) Определим по таблице № 5 Приложений величину q = q (n; g) = = q (10; 0,95) = 0,65.

8) Доверительный интервал для стандартного отклонения s ₀ определим согласно неравенству s ×(1 – q) < s ₀ < s ×(1 + q), так как q < 1.

Следовательно, 2,404(1 – 0,65) < s ₀ < 2,404(1 + 0,65) или

0,8414< s ₀ < 3,9666.

9) Построим полигон частот:

n_i

х

–2 –1 0 1 2 3 4 5

Рис. 4.

Ответ: 0, 282 < а < 3,718; 0,8414 < s ₀ < 3,9666 с надежностью g = 0,95.