Многомерные случайные величины

Многомерной случайной величиной называют совокупность случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Она задается несколькими числами, рассматриваемыми совместно.

Многомерные случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и смешанными.

Двумерная дискретная случайная величина (X, У) задается таблицей распределения, как совокупность пар значений (Х = х_i, У = у_j) и соответствующих им вероятностей , .

, , ,

. (9.1)

Условные вероятности и находятся по формулам:

. (9.2)

Многомерные случайные величины задаются функциями распределения.

, (9.3)

, ,

(9.4)

, (9.5)

Для характеристики двумерной случайной величины используют математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения составляющих Х и У, а также корреляционный момент (ковариацию) cov(x,y) и коэффициент корреляции (r)

. (9.10)

Для дискретных случайных величин Х, У:

.(9.11)

Для непрерывных случайных величин Х, У:

. (9.12)

Коэффициент корреляции случайных величин Х и У:

. (9.13)

1 В группе 8 мужчин и 5 женщин. Наугад отбирается 2 человека из группы. Составить совместный закон распределения случайных величин (Х, У), где Х – случайная величина, отобран мужчина, У – отобрана женщина. Определить коэффициент корреляции между Х и У.

2 В первой группе 8 мужчин, из которых 5 занимаются спортом, во второй 6 женщин, из которых две занимаются спортом. Из каждой группы случайно отобрано по одному человеку. Составить совместное распределение случайных величин (Х, У), где Х – отобранный из первой группы мужчина занимается спортом, У – отобранная из второй группы женщина занимается спортом. Зависимы ли случайные величины Х и У?

3 Задана двумерная дискретная случайная величина ХУ:

а) б)

У	Х		У	Х
	0,1	0,3			0,1	0,25
	0,2	0,15			0,15	0,2
	0,15	0,1			0,05	0,25

Определить:

а) законы распределения составляющих случайных величин;

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение составляющих Х и У;

в) условный закон распределения случайной величины У, если Х = 2;

г) условный закон распределения случайной величины Х, если У = 5.

4 Задана двумерная дискретная случайная величина ХУ:

а) б)

У	Х		У	Х
				-1
	0,15	0,2	0,10			0,1	0,15	0,1
	0,10	0,3	0,15			0,05	0,4	0,2

Определить:

а) законы распределения составляющих;

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение составляющих случайных величин Х и У;

5 Задана функция распределения двумерной случайной величины

Определить:

а) двумерную плотность вероятностей системы (Х, У);

б) вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник,

ограниченный прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = 3.

6 Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 3, у = 5, если известна функция распределения:

7 Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы (Х, У).

8 Имеется распределение хозяйств по дозам внесения удобрений и урожайности озимой пшеницы:

Доза удобрений на 1 га, ц д.в.	Урожайность, ц с 1 га
до 30	30-35	35-40	Свыше 40
до 1		а		-
1-2	а
свыше 2	-	а

Найти безусловные и условные законы распределения случайных величин урожайности (Х) и доз внесения удобрений (У), (а – число по указанию преподавателя).

9 Система случайных величин (Х, У) подчинена закону распределения с плотностью в квадрате и

вне квадрата.

Определить: а) коэффициент а; б) М(Х), М(У); в) Д(Х), Д(У).

10 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной величины в квадрате и вне квадрата. Доказать, что составляющие Х и У независимы.

11 Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно внутри треугольника с вершинами О (0,0), А (0,6) и В (6,0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих систем.

12 Система случайных величин (Х,У) распределена равномерно внутри квадрата со стороной а, диагонали которого совпадают с осями координат. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности составляющих системы.

13 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной величины (Х,У):

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

14 Система случайных величин (Х,У) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми х=0, у=0, х+у=а (а>0). Определить: а) математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У, б) корреляционный момент.

15 Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной случайной величины (Х,У):

Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.

16 Доказать, что если Х и У связаны линейной зависимостью, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1.