Б) Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и У.

. (7/4)

Если Х и У – дискретные независимые случайные величины, то для того чтобы найти распределение функции Z = X + Y надо найти все возможные значения и их вероятности .

Если Х и У – непрерывные случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y, при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (- ∞; ∞), находится по формуле:

, или , (7.5)

где f₁ и f₂ – плотности распределения аргументов Х и У.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X + Y находят по формуле:

, или . (7.6)

Если Х и У – независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область S равна:

. (7.7)

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х
р	0,3	0,5	0,2

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х-1;

б) У=Х+5; в) У=Х²-2; г) У= . Определить М(У).

2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-2	-1
р	0,2	0,4	0,1	0,3

Найти закон распределения случайной величины У, где: а) У=2Х+1; б)У=Х³-1; в) У=Х²; г) У= . Определить М(У).

3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
р	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У, если: а) У=4Х-4; б) У=Х².

4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
р	0,2	0,7	0,1

Найти: а) закон распределения случайной величины У=sin² X; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины У.

5. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2;10). Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) Y = 0,5 X – 1; б) Y = X²; в) . Определить М(У), Д(У), σ(У).

6. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (- ; ). Найти дифференциальную функцию случайной величины:

а) Y = sin X; б) У= cos X.

7. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = 2, =1. Найти дифференциальную функцию случайной величины:

а) У=2Х+6; б) У=Х³.

8. Непрерывная случайная величина Х задана функцией

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) ; б) .

9. Сторона квадрата Х имеет равномерное распределение на отрезке [1;2]. Найти плотность вероятности площади квадрата.

10. Случайная величина Х распределена по закону Коши:

.

Найти дифференциальную функцию случайной величины: а) У=Х³;

б) У=3Х.

11. Независимые случайные величины Х и У распределены равномерно. Случайная величина Х распределена в интервале (0; 2), а случайная величина У в интервале (0; 10). Найти интегральную и дифференциальную функции случайной величины Z=X+У. Построить графики интегральной и дифференциальной функций случайной величины Z.

12. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-4; 1), а случайная величина У равномерно распределена в интервале (1; 6). Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У и начертить ее график.

13. Независимые случайные величины Х и У заданы дифференциальными функциями:

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У.

14. Независимые случайные величины Х и У распределены по нормальному закону:

, .

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z=X+У. Показать, что случайная величина Z распределяется по нормальному закону.

15. Натуральный логарифм некоторой случайной величины Х распределен по нормальному закону с центром рассеивания и средним квадратическим отклонением . Найти плотность распределения случайной величины Х.