Закон больших чисел

Закон больших чисел представляет собой наиболее общий принцип, в результате которого количественные закономерности, присущие массовым случайным явлениям, отчетливо проявляются при достаточно большом числе наблюдений.

Лемма Чебышева. Если все значения случайной величины Х неотрицательны, то вероятность того, что случайная величина Х будет не меньше некоторого числа t > 0 не больше, чем .

. (8.1)

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания меньше некоторого числа ε > 0, не меньше чем .

. (8.2)

Теорема Чебышева. Если попарно – независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания, дисперсии каждой из случайной величины не превосходят постоянного числа С, то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Если , то

. (8.3)

Воспользовавшись неравенством Чебышева, получаем

. (8.4)

1 Цена акций коммерческой фирмы, реализуемых на фондовом рынке, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 тыс. руб. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки цена акций превысит 10 тыс. руб.

2 Количество электроэнергии, потребляемой поселком в течении суток, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 4 тыс. кВт.- ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление энергии: а) превысит 8 тыс. кВт.- ч.; б) не превысит 6 тыс. кВт.- ч.

3 Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 5000 семян число взошедших окажется от 3750 до 4250, если известно, что М(Х) = 4000. Определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

4 Вероятность вызревания семян овощной культуры в данной местности составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 растений, число растений с вызревшими семенами составит от 750 до 850. Определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

5 В организации имеется 100 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение определенного времени составляет 0,9. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что: а) отклонение числа безотказно работавших автомобилей за определенный период времени от его математического ожидания не превзойдет по модулю 5; б) отклонение доли безотказно работающих автомобилей от постоянной вероятности 0,9 по модулю будет меньше 0,06.

6 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
р	0,1	0,4	0,3	0,2

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

>3.

8 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-1
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

< 2,5.

9 Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

а) С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того,

что . б) Определить вероятность того, что .

10 Случайная величина задана интегральной функцией:

а) С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что

< . б) Определить вероятность того, что < .

11 Случайная величина задана интегральной функцией

а) используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

<а; б) определить вероятность того, что <а.

12 Выборочным способом определяют вес колосьев ячменя. Сколько необходимо отобрать колосьев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99, можно было утверждать, что средний вес случайно отобранных колосьев будет отличаться от среднего веса колосьев во всей партии (принимаемого за математическое ожидание) не более чем на 0,1 г? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса не превышает 0,2 г.

13 Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц со специальным образованием, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц со специальным образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по модулю 0,04.