Модель делового цикла Самуэльсона – Хикса

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

, (18)

где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

. (19)

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

. (20)

Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим:

. (21)

Уравнение (21) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины и постоянны).

Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что

, (22)

т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из (21) в силу (22) имеем

, (23)

откуда . (24)

Заметим, что выражение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.