Частные производные

Частной производной функции z = f(x,y) но переменной x назы­вают обычную производную функции z = f(x,y) по переменной x, по­считанную в нредноложении, что y является константой. Аналогично определяют частную производную функции z = f(x,y) по переменной y и частные производные функций больгпего числа неременных. Частную производную функции z = f(x,y) но неременной x обозначают симво-

X И ai ИЛИ z ^ И ^.

Задача 26. Вычислить z^ и z'y для функции z = x'^y^. Решение. Имеем

(xy) _y = x (y) _y = x^5y^ = 5x-y. □

Градиентном или полной производной функции многих переменных называют вектор, составленный из частных производных:

g ra df(x,y) = f(x,y) = {f^(x,y), fy(x,y)) =

∂f () ∂f

Геометрический смысл градиента: градиент перпендикулярен ли­ниям (поверхностям) уровня и направлен в сторону возрастания функ­ции; его длина равна скорости возрастания функции в данном направ­лении.

Полная производная позволяет приближепно вычислять приращепие функции. А именно. Положим

∆ f = f(x + ∆x,y + ∆ y) - f(x, y).

Рис. 3: Градиент функции z = x^ + y^

Тогда

∆ f «(f (x,y), ∆ x ¯) =

где

∆ x ¯ = (∆ x, ∆ y) .

6.3 Частные производные выснгих порядков

Частной производной второго порядка называют частную производ­ную от первой частной производной. Обозначения для z = f(x,y):

∂x∂x

∂y∂x

∂x∂y

∂y∂y

Различают чистые (все время по одной переменной) и смешанные част­ные производные (по разным переменным) высших порядков.

У функции n переменных производных 1-го порядка n штук, 2-го — n ^ штук и т.д.

Теорема 37. Если смешанные частные производные непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцпровання.

Матрицей Гессе функции f называют матрицу, составленную из все­возможных частных производных 2-го порядка. Для функции z = f(x,y) она выглядит так

f_xу(x,y) fу ₂(x,y)

Для функции n переменных

f

dx2dx1

9 x 19 x 2 dx ²₂

dx1dxn дx ₂ дx_n

dxndx1 дx_nдx2

dx ² _n

6.4 Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие

Пусть z = f(x,y) — функция двух переменных.

Точку (x о ,y о) называют точкой (нестрогого локального) максимума функции f, если для всех x, близких к x о, и для всех y, близких к y о, выполняется неравенство f (x,y) < f (x о ,y о)-

Точку (x о ,y о) называют точкой (нестрогого локального) минимума функции f, если для всех x, близких к x о, и для всех y, близких к y о, выполняются неравенство f (x,y) > f (x о ,y о)- Слова "нестрогий" и "ло­кальный" обычно опускают.

Для максимума и минимума функции используют общее название экс-нпремум. Значения функции в точках экстремума называются соответ­ственно максимумом и минимумом функции.

Теорема 38 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z = f (x,y) определена всюду н всюду имеет частные производные. Для того чтобы функция z = f(x,y) имела локальный экстремум в точке (x о, y о); необходимо, чтобы выполнялось условие

f_x (x о ,y о) = 0, f (x о ,y о) = 0 .

(6.1;

Точки, в которых выполнено условие (6.1), называют критмческими.

Задача 27. Найти

z = 4x + 3y + x^ — xy — y^

критические

точки

функции

Решение. Вычислим частные производные:

z^

(4 x + 3 y + x 2 - xy - y2)\. = 4 + 0 + 2 x-y- 0

z!у = (4x + 3y + x2-xy- y2) у = 0 + 3 + 0-x-2y.

Приравняем их к нулю:

4 + 2 x-y = 0, 3-x-2y = 0.

Решая эту систему, получаем, что x = - 1, y = 2.

6.5 Достаточное условие экстремума функции нескольких неременных

Теорема 39. Пусть функция z = f(x,y) всюду имеет непрерывные част­ные производные 2-го порядка. Если в критической точке (x ₀, y ₀) матри­ца Гессе является

♥ полоясительно определенной, то (x ₀ ,y ₀) ^ точка локального мини­мума;

♥ отрицательно определенной, то (x ₀ ,y ₀) ^ точка локального макси­мума;

♥ знакопеременной, то в (x ₀ ,y ₀) экстремума нет.

Теорема 40 (критерий Сильвестра). Матрица

/a 11 a 12 a 13

A= a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

полоясптельно определена тогда и тогда, когда ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0,

где

a 11 a 12 a 21 a 22

∆

∆

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Матрица A отрицательно определена тогда и тогда, когда ∆1 < 0,∆2 > 0, ∆3 < 0.

∆1 = a ₁₁,

Глава 7

Неопределенный интеграл

7.1 Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функцию F называют первообразной функции f, если

F'(x) = f(x).

Таким образом, нахождение первообразной есть действие обратное нахо­ждению производной.

Пример 28. Первообразной функции f (x) = x является функция F q(x) = Y- Действительно, Fq(x) = (у) = x. Но функция F i(x) = у + 3 также является первообразной функции f(x) = x.

И вообще, при любом значении константы C G М функция F(x) = у + C является первообразной функции f(x) = x.

Этот пример показывает, что первообразных может быть много. Ока­зывается, это — общая ситуация. Она описывается в следующей теореме.

Теорема 41. Пусть область определения функции f представляет собой промежуток (интервал, отрезок, полуинтервал, полуось или всю ось). Если известна хотя бы одна первообразная F функции f, то множество всех ее первообразных описывается формулой

F(x) + C,

где C пробегает миоукество всех действительных чисел.

Неопределенным интегралом от функции f называют множество всех ее первообразных. Неопределенный интеграл от f обозначают символом J f(x) dx. В силу теоремы 41

где F — какая-нибудь первообразная, а C пробегает множество всех дей­ствительных чисел.

Еще раз подчеркнем, что в отличие от первообразной неопределенный интеграл является не функцией, а семейством функций.

Часть f(x) dx обозначения J f(x) dx называют поды,нтегральны,м вы­ражением^ а функцию f, от которой берут интеграл, — подынтегральной функцией.

Как правило, на символ / в обозначении интеграла удобно смотреть как на открывающуюся скобку, а на символ dx — как на закрывающуюся; то, что находится между ними, надо проинтегрировать.

Иногда бывает полезно буквальное понимание символа J f(x) dx. В нем часть f(x) dx представляет собой дифференциал неизвестной функ­ции F. Нахождение первообразной (неопределенного интеграла) есть вос­становление функции F но ее дифференциалу.

По интуитивному смыслу dx есть бесконечно малое число, а f(x) — его коэффициент. В этом контексте символ / (представляющий собой вы­тянутую латинскую букву S — начальную букву слова "суммировать") означает суммирование бесконечно большого числа бесконечно малых величин f(x) dx. Поскольку dx можно интерпретировать как множитель, его часто с целью экономии места пишут не в конце, а например, в чис­лителе: Г—.

J X

Если функция не имеет ни одной первообразной, то она, конечно, не имеет и неопределенного интеграла. Такие функции называют неинте-грируемыми. Их следует отличать от функций, первообразные от кото­рых существуют, но не выражаются через основные элементарные функ­ции, см. § 7.10.

7.2 Таблица неопределенных интегралов

В отличие от вычисления производных, процесс вычисления интегра­лов состоит в ирименении различных искусственных приемов. Простей­ший тип таких приемов представляет собой приводимая ниже таблица неопределенных интегралов. По сути она представляет собой таблицу производных, прочитанную в обратном порядке: все формулы из этой таблицы доказываются непосредственным дифференцирование правой части.

x xdx dx = x 2

Теорема 42 (Таблица неопределенных интегралов).

α ^^ f dx

+ C, α = - 1 ,

x α dx = -------

α + 1

dx = x + C,

ijjjj —

x

= 2 √x + C,

+ C, + C,

ln |x| + C,

x

2 1

x

a^x dx

a^x ln a

+ C, a > 0, a = 1,

e^x dx = e^x + C,

cos x + C,

sin x dx

tg x + C,

dx = cos² x

tg x dx = - ln | cos x| + C,

cos x dx dx

sin² x

ctg x dx

sin x + C, ctg x + C, ln | sin x| + C,

+ C,

dx

x ² a ²

dx

x ² + a ²

2 a 1

ln

x-a

x + a x

arctg + C, aa

dx

ln |x + v x 2 ± k| + C,

л x 2 ± k

2 = arcsin + C.

lnx±b\ + C,

xdx 1

\/ x 2 ± b + C.

x ² ±b 2 xdx

лx2 ± b Таблицу неопределенных интегралов необходимо знать наизусть.

7.3 Непосредственное применение таблицы интегралов

Задача 28. Найдите интеграл J x^ dx.

Решение. Этот интеграл соответствует первой табличной формуле с α = 6. Поэтому

а+1

x^ dx = ---------- C

α + 1

6+1 7

xx

6 + 1 + C = 7 + C. °

Задача 29. Найдите интеграл / ₁ dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду

/1 dx =/ x-. dx.

Теперь видно, что этот интеграл соответствует первой табличной фор­муле с α = -9. Поэтому

—Tdx= / x- ^ dx = -------------- C =

x^ -9 + 1

Задача 30. Найдите интеграл 3x'^dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду / √ 3 x ^ dx = x 4 3 dx. Теперь видно, что этот интеграл соответствует первой формуле с α = д. Поэтому / √ 3~ / 4 x 3+ x 3

x 4 dx = x 4 3 dx 4

+ C = 7 + C 1

3 +

3 √

3 x 3 3 7

= - + C = - x 3 + C. П
7 7

Правило: Чтобы посчитать интеграл от корня или от x, стоящего в знаменателе, надо записать их как степень x.

Задача 31. Найдите интеграл 5x dx.

Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J a^x dx 1^ + C. Поэтому

5 x dx

ax dx

+ C

+ C.

ln a

ln 5

a^x _1 5 x

Замечание 4. Часто путают интегралы xα dx 1^ + C. Важно научиться их различать.

Задача 32. Найдите интеграл J2'^^xdx. Решение. Преобразуем интеграл к виду

₁ + C и a^x dx

3 x

2^{3 x} dx

3 x

dx

8 ^x dx.

ln a

23 x dx

+ C.

Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J a^x dx C. Поэтому

8 x dx =	8 x ln 8
dx

Задача 33. Найдите интеграл _{x 2 -} д

Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J _{x 2} ^d _- ^x _a 7j ¹ ln| ^x _x ^{- a} _a | + C С a = 3. Поэтому

iLj_a I I I

ln

+ C

x

x 2

32 23

x +3

1 6

x

x ² 9

+ C.

x +3

ln

+

dx

Задача 34. Найдите интеграл _{x 2 -} —^- Решение. Имеем

x ²

x 2

(√ 5)

x

√ 5

ln

2 √ 5 x + √ 5

+ C.

Задача 35. Найдите интеграл /

dx л/ x 2 - 16'

Решение. Этот интеграл соответствует формуле J -_x ^{d x} _{± b} = ln |x+лx ² ± b| + C с b = 16. Поэтому

dx

л x 2 - 16

!/

√ x 2 ±b

ln |x + v x 2

ln |x + лx2 - 16 | + C. П

7.4 Основные свойства неопределенного интеграла

Теорема 43. Неопределенный интеграл обладает свойствами

(a) (J f(x) dx 1 = f(x) или, что равносильно, dij f(x) dx 1 = f(x) dx;

(b) / F'(x) dx = F (x) + C или, что равносильно, J dF(x) = F(x) + C;

(c) / αf(x) dx = α J f(x) dx, α = 0;

(d) /(f (x) ± g (x)) dx = / f(x) dx±J g(x) dx.

Свойства (a) и (b) теоремы 43 говорят, что интегрирование есть дей­ствие, обратное к дифференцированию (т. е. вычислению производных и дифференциалов), а свойства (с) и (d) — описывают простейшие свой­ства пеонределеиного интеграла, называемые аддитивностью и одно­родностью.

Задача 36. Найдите интеграл /

dx 36 x ^ ■

Решение. Преобразуем интеграл к виду

36 - x2 x 2 - 36

Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J _xр ^dx _a = 2 ¹ _a ln ^x _x ^- ₊ ^a _a + C с a = 6. Поэтому

f dx f dx f dx

36 - x ² J x ² - 36 x ² - 6 ²

1 x - 6 1 x + 6 ^

=----- ln------- + C = —ln------- + C. П

12 x + 6 12 x-6

Задача 37. Найдите интеграл (x - 2 e^x) dx. Решение.

Г x 2
xdx -2 I e^x dx = ------------------- C1 - 2(e^x + C2

= — - 2е _x + C.

Здесь используется тот факт, что сумма и разность произвольных по­
стоянных (C i - 2 C 2) — снова произвольная постоянная. П

Задача 38. Найдите интеграл /(2 + x) ² dx.

Решение. Возведем в квадрат иодынтегральное выражение и преобра­зуем интеграл к виду

/(2 + x)² dx =/(4 + 4 x + x 2) dx

= 4 / dx + 4 xdx + x2dx = Теперь видно, что эти интегралы вычисляются но таблице интегралов:

/ (2 + x)2 dx = 4 dx + 4 I xdx + x2dx =

/ x 2\ x-^ C

= 4 x + 2 x 2 + — + C. П

7.5 Интегралы с линейным аргументом

Теорема 44. Если известно, что

f f(u)du = F(u) + C, то для любых k = 0 и b ^М.

I f(kx + b)dx = k F(kx + b) + C, (7.i;

в частности,

/ f(x + b)dx = F(x + b) + C.

Иными словами, если требуется посчитать интеграл (7.1) от функции x 1-^ f(kx + b), имеющей линейный аргумент kx + b, то с линейным аргументом kx + b моукно обращаться как с одной буквой, но при этом в ответ следует внести поправочный множитель ^.

Доказательство. Как проверяется непосредственным дифференци­
рованием, производная функции x i-^ ¹ ^F(kx + b) совпадает с функцией
x 1-^ f(kx + b). П

Задача 39. Найдите интеграл с линейным аргументом:

/ e ² ^'+5dx.

Решение. Заметим, что внутренней здесь является линейная функция x 1-^ 2 x + 5. Если заменить 2 x + 5 одной буквой, то получится табличный интеграл

В силу теоремы 44 инте ¹ ес ¹ ющий нас интеграл отличается от него поправочным множителем ^ = 2-

Способ оформления решения:

Ответ: ¹ ₂ e ²^+5 + C. П

Задача 40. Вычислите интеграл

Решение. Внутренней здесь является функция x i-^ 4 x - 3. Если заме­нить 4 x - 3 одной буквой u, то получится интеграл:

1 2+1 u	u 3 3 2 + C = 2	2 u 3 2
1 + C = 2 +1

udu= ₁ / ^ du = u ₂- C = u ₂ + C = 2 u ₂ + C

В силу теоремы 44 инте ¹ есующий нас интеграл отличается от этого поправочным множителем |:

г ------ 1 2(4 x - 3) 2 (4 x - 3) 2

4 x-3 dx = - ■----------------- + C =-------------- + C.

4 3 6

Способ оформления решения:

√ √ _{1 / 2} 2 u ₂

4 x- 3 dx = udu = u du = 3 + C

1 2(4 x - 3) ³ (4 x - 3) ³

4 · 3 ² + C = 6 ² + C.

Задача 41. Вычислите интеграл

f dx

2-7x

Решение.

du 1 u = ln |u| + C = - 7 ln | 2 - 7 x| + C.