![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Частной производной функции z = f(x,y) но переменной x называют обычную производную функции z = f(x,y) по переменной x, посчитанную в нредноложении, что y является константой. Аналогично определяют частную производную функции z = f(x,y) по переменной y и частные производные функций больгпего числа неременных. Частную производную функции z = f(x,y) но неременной x обозначают симво-
X И ai ИЛИ z ^ И ^.
Задача 26. Вычислить z^ и z'y для функции z = x'^y^. Решение. Имеем
(xy) y = x (y) y = x^5y^ = 5x-y. □
Градиентном или полной производной функции многих переменных называют вектор, составленный из частных производных:
g ra df(x,y) = f(x,y) = {f^(x,y), fy(x,y)) =
∂f () ∂f
Геометрический смысл градиента: градиент перпендикулярен линиям (поверхностям) уровня и направлен в сторону возрастания функции; его длина равна скорости возрастания функции в данном направлении.
Полная производная позволяет приближепно вычислять приращепие функции. А именно. Положим
∆ f = f(x + ∆x,y + ∆ y) - f(x, y).
![]() |
Рис. 3: Градиент функции z = x^ + y^
Тогда
∆ f «(f (x,y), ∆ x ¯) =
где
∆ x ¯ = (∆ x, ∆ y) .
6.3 Частные производные выснгих порядков
Частной производной второго порядка называют частную производную от первой частной производной. Обозначения для z = f(x,y):
∂x∂x
∂y∂x
∂x∂y
∂y∂y
Различают чистые (все время по одной переменной) и смешанные частные производные (по разным переменным) высших порядков.
У функции n переменных производных 1-го порядка n штук, 2-го — n ^ штук и т.д.
Теорема 37. Если смешанные частные производные непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцпровання.
Матрицей Гессе функции f называют матрицу, составленную из всевозможных частных производных 2-го порядка. Для функции z = f(x,y) она выглядит так
fxу(x,y) fу 2(x,y)
Для функции n переменных
f
dx2dx1
9 x 19 x 2 dx 22
dx1dxn дx 2 дxn
dxndx1 дxnдx2
dx 2 n
6.4 Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
Пусть z = f(x,y) — функция двух переменных.
Точку (x о ,y о) называют точкой (нестрогого локального) максимума функции f, если для всех x, близких к x о, и для всех y, близких к y о, выполняется неравенство f (x,y) < f (x о ,y о)-
Точку (x о ,y о) называют точкой (нестрогого локального) минимума функции f, если для всех x, близких к x о, и для всех y, близких к y о, выполняются неравенство f (x,y) > f (x о ,y о)- Слова "нестрогий" и "локальный" обычно опускают.
Для максимума и минимума функции используют общее название экс-нпремум. Значения функции в точках экстремума называются соответственно максимумом и минимумом функции.
Теорема 38 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z = f (x,y) определена всюду н всюду имеет частные производные. Для того чтобы функция z = f(x,y) имела локальный экстремум в точке (x о, y о); необходимо, чтобы выполнялось условие
fx (x о ,y о) = 0, f (x о ,y о) = 0 .
(6.1;
Точки, в которых выполнено условие (6.1), называют критмческими.
Задача 27. Найти
z = 4x + 3y + x^ — xy — y^
критические
точки
функции
Решение. Вычислим частные производные:
z^
(4 x + 3 y + x 2 - xy - y2)\. = 4 + 0 + 2 x-y- 0
z!у = (4x + 3y + x2-xy- y2) у = 0 + 3 + 0-x-2y.
Приравняем их к нулю:
4 + 2 x-y = 0, 3-x-2y = 0.
Решая эту систему, получаем, что x = - 1, y = 2.
6.5 Достаточное условие экстремума функции нескольких неременных
Теорема 39. Пусть функция z = f(x,y) всюду имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Если в критической точке (x 0, y 0) матрица Гессе является
♥ полоясительно определенной, то (x 0 ,y 0) ^ точка локального минимума;
♥ отрицательно определенной, то (x 0 ,y 0) ^ точка локального максимума;
♥ знакопеременной, то в (x 0 ,y 0) экстремума нет.
Теорема 40 (критерий Сильвестра). Матрица
/a 11 a 12 a 13
A= a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
полоясптельно определена тогда и тогда, когда ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0,
где
a 11 a 12 a 21 a 22 |
∆ |
∆ |
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Матрица A отрицательно определена тогда и тогда, когда ∆1 < 0,∆2 > 0, ∆3 < 0. |
∆1 = a 11,
Глава 7
Неопределенный интеграл
7.1 Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функцию F называют первообразной функции f, если
F'(x) = f(x).
Таким образом, нахождение первообразной есть действие обратное нахождению производной.
Пример 28. Первообразной функции f (x) = x является функция F q(x) = Y- Действительно, Fq(x) = (у) = x. Но функция F i(x) = у + 3 также является первообразной функции f(x) = x.
И вообще, при любом значении константы C G М функция F(x) = у + C является первообразной функции f(x) = x.
Этот пример показывает, что первообразных может быть много. Оказывается, это — общая ситуация. Она описывается в следующей теореме.
Теорема 41. Пусть область определения функции f представляет собой промежуток (интервал, отрезок, полуинтервал, полуось или всю ось). Если известна хотя бы одна первообразная F функции f, то множество всех ее первообразных описывается формулой
F(x) + C,
где C пробегает миоукество всех действительных чисел.
Неопределенным интегралом от функции f называют множество всех ее первообразных. Неопределенный интеграл от f обозначают символом J f(x) dx. В силу теоремы 41
где F — какая-нибудь первообразная, а C пробегает множество всех действительных чисел.
Еще раз подчеркнем, что в отличие от первообразной неопределенный интеграл является не функцией, а семейством функций.
Часть f(x) dx обозначения J f(x) dx называют поды,нтегральны,м выражением^ а функцию f, от которой берут интеграл, — подынтегральной функцией.
Как правило, на символ / в обозначении интеграла удобно смотреть как на открывающуюся скобку, а на символ dx — как на закрывающуюся; то, что находится между ними, надо проинтегрировать.
Иногда бывает полезно буквальное понимание символа J f(x) dx. В нем часть f(x) dx представляет собой дифференциал неизвестной функции F. Нахождение первообразной (неопределенного интеграла) есть восстановление функции F но ее дифференциалу.
По интуитивному смыслу dx есть бесконечно малое число, а f(x) — его коэффициент. В этом контексте символ / (представляющий собой вытянутую латинскую букву S — начальную букву слова "суммировать") означает суммирование бесконечно большого числа бесконечно малых величин f(x) dx. Поскольку dx можно интерпретировать как множитель, его часто с целью экономии места пишут не в конце, а например, в числителе: Г—.
J X
Если функция не имеет ни одной первообразной, то она, конечно, не имеет и неопределенного интеграла. Такие функции называют неинте-грируемыми. Их следует отличать от функций, первообразные от которых существуют, но не выражаются через основные элементарные функции, см. § 7.10.
7.2 Таблица неопределенных интегралов
В отличие от вычисления производных, процесс вычисления интегралов состоит в ирименении различных искусственных приемов. Простейший тип таких приемов представляет собой приводимая ниже таблица неопределенных интегралов. По сути она представляет собой таблицу производных, прочитанную в обратном порядке: все формулы из этой таблицы доказываются непосредственным дифференцирование правой части.
x xdx dx = x 2 |
Теорема 42 (Таблица неопределенных интегралов).
α ^^ f dx
+ C, α = - 1 , |
x α dx = -------
α + 1
dx = x + C,
ijjjj —
x |
= 2 √x + C,
+ C, + C, |
ln |x| + C,
x
2 1
x
ax dx
ax ln a
+ C, a > 0, a = 1,
ex dx = ex + C,
cos x + C, |
sin x dx
tg x + C, |
dx = cos2 x
tg x dx = - ln | cos x| + C,
cos x dx dx
sin2 x
ctg x dx
sin x + C, ctg x + C, ln | sin x| + C,
+ C, |
dx
x 2 a 2
dx
x 2 + a 2
2 a 1 |
ln |
x-a
x + a x
arctg + C, aa
dx |
ln |x + v x 2 ± k| + C,
л x 2 ± k
2 = arcsin + C.
lnx±b\ + C, |
xdx 1
\/ x 2 ± b + C. |
x 2 ±b 2 xdx
лx2 ± b Таблицу неопределенных интегралов необходимо знать наизусть.
7.3 Непосредственное применение таблицы интегралов
Задача 28. Найдите интеграл J x^ dx.
Решение. Этот интеграл соответствует первой табличной формуле с α = 6. Поэтому
а+1
x^ dx = ---------- C
α + 1
6+1 7
xx
6 + 1 + C = 7 + C. °
Задача 29. Найдите интеграл / 1 dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
/1 dx =/ x-. dx.
Теперь видно, что этот интеграл соответствует первой табличной формуле с α = -9. Поэтому
—Tdx= / x- ^ dx = -------------- C =
x^ -9 + 1
Задача 30. Найдите интеграл 3x'^dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
/ √ 3 x ^ dx = x 4 |
x 4 dx = x 4 |
+ C = 7 + C 1 |
3 + |
3 √
3 x 3 3 7
= - + C = - x 3 + C. П
7 7
Правило: Чтобы посчитать интеграл от корня или от x, стоящего в знаменателе, надо записать их как степень x.
Задача 31. Найдите интеграл 5x dx.
Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J ax dx 1^ + C. Поэтому
5 x dx |
ax dx |
+ C |
+ C. |
ln a |
ln 5 |
ax _1 5 x
Замечание 4. Часто путают интегралы xα dx 1^ + C. Важно научиться их различать.
Задача 32. Найдите интеграл J2'^xdx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
1 + C и ax dx
3 x |
23 x dx
3 x
dx
8 x dx.
ln a |
23 x dx |
+ C. |
Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J ax dx C. Поэтому
8 x dx = | 8 x ln 8 |
dx |
Задача 33. Найдите интеграл x 2 - д
Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J x 2 d - x a 7j 1 ln| x x - a a | + C С a = 3. Поэтому
iLja I I I
ln |
+ C |
x
x 2 |
32 23 |
x +3 |
1 6 |
x |
x 2 9
+ C. |
x +3 |
ln
+
dx |
Задача 34. Найдите интеграл x 2 - —^- Решение. Имеем
x 2
x 2 |
(√ 5)
x |
√ 5
ln |
2 √ 5 x + √ 5
+ C.
Задача 35. Найдите интеграл /
dx л/ x 2 - 16'
Решение. Этот интеграл соответствует формуле J -x d x ± b = ln |x+лx 2 ± b| + C с b = 16. Поэтому
dx
л x 2 - 16
!/ |
√ |
ln |x + v x 2
ln |x + лx2 - 16 | + C. П
7.4 Основные свойства неопределенного интеграла
Теорема 43. Неопределенный интеграл обладает свойствами
(a) (J f(x) dx 1 = f(x) или, что равносильно, dij f(x) dx 1 = f(x) dx;
(b) / F'(x) dx = F (x) + C или, что равносильно, J dF(x) = F(x) + C;
(c) / αf(x) dx = α J f(x) dx, α = 0;
(d) /(f (x) ± g (x)) dx = / f(x) dx±J g(x) dx.
Свойства (a) и (b) теоремы 43 говорят, что интегрирование есть действие, обратное к дифференцированию (т. е. вычислению производных и дифференциалов), а свойства (с) и (d) — описывают простейшие свойства пеонределеиного интеграла, называемые аддитивностью и однородностью.
Задача 36. Найдите интеграл /
dx 36 x ^ ■
Решение. Преобразуем интеграл к виду
36 - x2 x 2 - 36
Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J xр dx a = 2 1 a ln x x - + a a + C с a = 6. Поэтому
f dx f dx f dx
36 - x 2 J x 2 - 36 x 2 - 6 2
1 x - 6 1 x + 6 ^
=----- ln------- + C = —ln------- + C. П
12 x + 6 12 x-6
Задача 37. Найдите интеграл (x - 2 ex) dx. Решение.
Г x 2
xdx -2 I ex dx = ------------------- C1 - 2(ex + C2
= — - 2е x + C.
Здесь используется тот факт, что сумма и разность произвольных по
стоянных (C i - 2 C 2) — снова произвольная постоянная. П
Задача 38. Найдите интеграл /(2 + x) 2 dx.
Решение. Возведем в квадрат иодынтегральное выражение и преобразуем интеграл к виду
/(2 + x)2 dx =/(4 + 4 x + x 2) dx
= 4 / dx + 4 xdx + x2dx = Теперь видно, что эти интегралы вычисляются но таблице интегралов:
/ (2 + x)2 dx = 4 dx + 4 I xdx + x2dx =
/ x 2\ x-^ C
= 4 x + 2 x 2 + — + C. П
7.5 Интегралы с линейным аргументом
Теорема 44. Если известно, что
f f(u)du = F(u) + C, то для любых k = 0 и b ^М.
I f(kx + b)dx = k F(kx + b) + C, (7.i;
в частности,
/ f(x + b)dx = F(x + b) + C.
Иными словами, если требуется посчитать интеграл (7.1) от функции x 1-^ f(kx + b), имеющей линейный аргумент kx + b, то с линейным аргументом kx + b моукно обращаться как с одной буквой, но при этом в ответ следует внести поправочный множитель ^.
Доказательство. Как проверяется непосредственным дифференци
рованием, производная функции x i-^ 1 ^F(kx + b) совпадает с функцией
x 1-^ f(kx + b). П
Задача 39. Найдите интеграл с линейным аргументом:
/ e 2 ^'+5dx.
Решение. Заметим, что внутренней здесь является линейная функция x 1-^ 2 x + 5. Если заменить 2 x + 5 одной буквой, то получится табличный интеграл
В силу теоремы 44 инте 1 ес 1 ющий нас интеграл отличается от него поправочным множителем ^ = 2-
Способ оформления решения:
Ответ: 1 2 e 2^+5 + C. П
Задача 40. Вычислите интеграл
Решение. Внутренней здесь является функция x i-^ 4 x - 3. Если заменить 4 x - 3 одной буквой u, то получится интеграл:
1 | u 3
| 2 u 3 |
udu= 1 / ^ du = u 2- C = u 2 + C = 2 u 2 + C
В силу теоремы 44 инте 1 есующий нас интеграл отличается от этого поправочным множителем |:
г ------ 1 2(4 x - 3) 2 (4 x - 3) 2
4 x-3 dx = - ■----------------- + C =-------------- + C.
4 3 6
Способ оформления решения:
√ √ 1 / 2 2 u 2
4 x- 3 dx = udu = u du = 3 + C
1 2(4 x - 3) 3 (4 x - 3) 3
4 · 3 2 + C = 6 2 + C.
Задача 41. Вычислите интеграл
f dx
2-7x
Решение.
du 1 u = ln |u| + C = - 7 ln | 2 - 7 x| + C. |
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!