Булєва алгебра множин

Задачі

Для безлічей А, В і деякого універсума U = {a, b, c, d, e, f} визначити відповідні їм двоїчні вектори V₁, V₂, V, знайти порозрядні диз'юнкцію V₃, кон’юнкцію V₄, два заперечення V₅, V₆, додавання по модулі «2» V₇, дві заборони імплікації V₈, V₉:

A = {a, b, d}; B = {a, b, c, d};

A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, c};

A = {c, d, e}; B = {a, c};

A = {a, b, d, e}; B = {a, b, c, d};

A = {{a, b, c, d}}; B = {a, b, c, e};

Для безлічей А, В і універсума U задачі 1 знайти об'єднання, перетинання, два доповнення, симетричну різницю, дві різниці і визначити відповідні їм двоїчні вектори V₃’, V₄’, V₅’, V₆’, V₇’, V₈’, V₉’. Порівняти отримані двоїчні вектори V₃’, V₄’, V₅’, V₆’, V₇’, V₈’, V₉’ з векторами V₃, V₄, V₅, V₆, V₇, V₈, V₉ задачі 1.

Алгебра Жегалкіна

Задачі

Перевести задані булєві функції в алгебру Жегалкіна:

елементарні ФАЛ двох перемінних;

x₁+x₂+x₃;

x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃;

(x₁x₂+ùx₁ùx₂)Åx₃;

x₁x₂(x₂Åx₃);

x₁x₂+ùx₂x₃+ùx₃x₄+ùx₄x₁;

(1010, 1010, 0110, 1000);

(1010, 0110, 1001, 0110);

(x₁Åx₂)x₃+(x₁Åx₃)x₂;

(x₁¯x₂)/x₃+(ùx₂®x₃)¯x₄;

ù((x₁+ùx₂+x₃+x₄)(x₁+x₂+x₃+ùx₄))+(x₁x₃x₄®0).

Спростити вираження, використав властивості алгебри Жегалкіна:

x₁x₂(x₂Åx₃);

1Å(x₁Åx₂)x₃Å(x₁Åx₃)x₂;

xyÅyzÅxzÅz;

1Åx₁Åx₁x₂Åx₂Åx₂x₃Å;

(1Åx₁)(1Åx₂)(1Åx₃)(1Åx₄);

1Å(1Åx₁x₂x₃)(x₂x₃Åx₁x₄);

(x₁Åx₂Åx₃Åx₄)((1Åx₁)Å(1Åx₂)Å(1Åx₃)Å(1Åx₄)).

Представити отримані в задачі 2 вирази в поліноміальній формі.

Перевести вирази з алгебри Жегалкина в булеву алгебру.

1Åx₁x₂(1Åx₂Åx₃);

1Å(x₁Åx₂)(1Åx₃)Å(x₁Åx₃)x₂;

xyzÅxyÅyzÅxzÅxÅyÅz;

1Åx₁Åx₁x₂Åx₂Åx₂x₃Åx₃Åx₁x₃;

(1Åx₁)(1Åx₂)(1Åx₃)(1Åx₄);

1Å(1Åx₁x₂x₃)(1Å(1Åx₂x₃)Åx₁x₄);

x₁Åx₂Åx₃Åx₄.