![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Система (3.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы этой самой же системы.
Ранг совместной системы позволяет судить о количестве решений. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных ― бесчисленное множество решений.
Обратная матрица: алгоритм ее вычисления, решение систем методом обратной матрицы
Рассмотрим единичную матрицу Е = . Ее определитель | E |= 1.
Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Пусть дана квадратная матрица А.
Матрица А- 1 называется обратной к данной матрице, если верно условие:
А-1·А=А·А-1=Е.
Следует особо отметить, что обратная матрица существует только для невырожденной матрицы и единственна.
|А-1|·|А|=|Е|= 1.
Пусть нам дана исходная матрица А = .
Процесс нахождения обратной матрицы можно условно разделить на 4 этапа:
Нахождение определителя данной матрицы, он не должен быть равен нулю (в противном случае имеем вырожденную матрицу, для которой не существует обратной матрицы). Обозначим его через d=| A |.
Составление матрицы Ă, главная особенность которой это то, что вместо элементов матрицы стоят их алгебраические дополнения (для строки i и столбца j это будет алгебраическое дополнение Ai j).
Ă = .
Транспонирование матрицы Ă, в результате чего получаем матрицу Ā, которая называется присоединенной к матрице А.
Ā = .
В этих обозначениях справедлива следующая теорема:
А-1 = ·
, или А-1 =
.
Т.е. А-1=
.
Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными подобно (3.1).
Образуем матрицы следующего вида: X = , B =
, A =
.
Рассмотрим произведение матриц A и X.
A · X = т.е. имеем столбец левых частей уравнений, поэтому систему уравнений можно записать в виде:
A · X = B.
Такой вид системы уравнений называется матричной формой записи системы уравнений.
Пусть | A | 0. тогда по теореме Крамера данная система уравнений имеет единственное решение. По теореме об обратной матрице существует обратная матрица. Умножим обе части равенства на А-1 слева:
= А-1 ·B
- решение системы методом обратной матрицы.
.
План семинарского занятия
Основные определения и понятия: матрица, главная диагональ, виды матриц.
Определение операций над матрицами и применение с соответствующих теоретических знаний при решении примеров.
Термин «определитель матрицы», его нахождение в заданиях.
Определение системы линейных уравнений и различных ее видов в зависимости от количества решений. Перечисление элементарных преобразований системы.
Определения «ранг матрицы» и «минор порядка k». Использование критерия совместности системы.
Использование правила Крамера для решения систем линейных уравнений.
Принцип сведения системы линейных уравнений к записи в матричной форме.
Повторение и использование при решении систем линейных уравнений алгоритма нахождения обратной матрицы.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 414 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!