Nbsp;   Введение

Математика всегда являлась и является наукой, знаниями и методами которой пользуются практически все другие науки. Именно с помощью математического аппарата можно отразить закономерности окружающего мира. «Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит», ― отмечал М.В. Ломоносов. Впрочем, о математике и ее значении говорили и другие великие люди. С ее помощью можно и следует заложить основы знаний, необходимых для дальнейшего обучения студентов и изучения ими учебных дисциплин, связанных с информационными технологиями, обработкой информации, построением экономических и статистических моделей. Это является одной из важнейших задач при изучении курса математики. Вследствие этого математика изучается студентами практически всех специальностей в первые годы обучения в вузе.

Студент должен обладать знаниями и умениями по основным разделам математики и уметь применять их в гуманитарной сфере деятельности, уметь правильно строить математические рассуждения и доказательства, а также применять полученные знания для решения поставленных практических задач.

Тема «Матрицы и операции над ними. Метод Крамера» изучается студентами специальностей «Экономика и управление на предприятии», «Социальная работа» и «Документоведение и документационное обеспечение управления» в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования в области культуры и искусства.

Данная тема рассматривается в разделе линейной алгебры и является важным элементом для дальнейшего изучения этого же раздела и используется в разделах аналитической геометрии, математического анализа и линейного программирования: в частности позволяет решать задачи экономического и социального характера. Поэтому цель изучения матриц и производимых над ними действий ­– получение студентами новых знаний, овладение необходимыми практическими навыками для решения задач практической направленности.

Задача изучения данной темы: усвоение новых понятий и определений, решение с помощью матриц систем линейных уравнений, выявление сферы применения полученных знаний.

В данной лекции:

приводится определение матрицы, названия различных ее видов;

вводится понятие определителя матрицы и изложены его свойства;

рассмотрены системы линейных уравнений и методы их решения с использованием правила Крамера и с помощью обратной матрицы;

рассматривается критерий совместности и несовместности систем линейных уравнений, дается их математический смысл.

Материал иллюстрируется примерами. Для закрепления темы предлагаются задания для самостоятельной работы и план семинарского занятия. Изучение матриц и операций над ними формирует у студентов знания, которые впоследствии они будут использовать не только при изучении математики, но и в других дисциплинах, а также позволит им решать задачи теоретической и практической экономики, социальной работы и документационного обеспечения, моделировать реальные процессы окружающей нас действительности.

Матрицы: определения, действия над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Например: , .

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Элементы матрицы, стоящие на одной горизонтали, называются ее строками, а стоящие на одной вертикали – столбцами матрицы.

Строки нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

- матрица, содержащая m строк и n столбцов:

Элемент, данной матрицы обозначается как . Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс (i) указывает номер строки, второй (j) – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Сами матрицы обозначают прописными буквами: A, B, C.

Часто вместо подробной записи:

А =

употребляют сокращенную: А = .

Две матрицы А = и В = называются равными, если число их строк и число их столбцов соответственно равны, и если равны элементы, стоящие на соответствующих местах этих матриц: = при любых i и j. Очевидно, что матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие столбцы или равны их соответствующие строки.

Кроме того, существует понятие транспонированной матрицы, смысл и определение которой будут изложены далее.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов:

.

Число строк квадратной матрицы, равное числу ее столбцов, называется порядком квадратной матрицы.

Главной диагональю матрицы называется совокупность элементов , т.е. таких элементов, которые лежат на отрезке, соединяющем ее левый верхний угол с правым нижним. (Элементы, лежащие на отрезке, соединяющем ее правый верхний угол с левым нижним, образуют побочную диагональ.)

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю. Можно выделить два подвида треугольных матриц: треугольных снизу и треугольных сверху.

Пример 1.1: - матрица треугольная снизу.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

Пример 1.2: .

Можно заметить, что диагональная матрица является треугольной снизу и треугольной сверху одновременно.

Квадратная матрица называется единичной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю, а диагональные элементы равны единице. Такая матрица обозначается буквой Е.

Пример 1.3: Е = .

Над матрицами можно выполнять следующие операции:

3. Сложение;

4. Умножение на число;

5. Транспонирование;

6. Умножение матриц.

Сложение

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов.

Суммой матриц А = и В = называется матрица С = , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т.е. = + .

A+B=C.

= + .

Пример 1.4: .

Умножение на число

Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на .

Таким образом, если имеется матрица А с элементами и некоторое число , то произведением матрицы А на это число является матрица А с элементами соответственно.

Пример 1.5:

.

Используя данное действие над матрицами можно определить операцию вычитания матриц, т.е: А-В=А+(-1)·В.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой о обозначается через О. Например, О =

Для любой матрицы А имеем: А+О=А, А·О=О, (-1)·А+А=О.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1) А+В=В+А;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) А·( +k)=A· +A·k;

4) A·( ·k)=(A· )·k;

5) (A+B)· =A· +B· ,

где А, В, С – матрицы; , k – числа.

Транспонирование

Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором ее столбцы становятся строками, а строки становятся, соответственно, столбцами. То есть, если имеется матрица А с элементами , то, транспонируя ее, имеем матрицу с элементами соответственно, или = . Например, = , или на примере матрицы:

А = = .

В общем случае, имея матрицу, размерности , при ее транспонировании получим матрицу размерности .

Таким образом, транспонированной матрицей к матрице А называется такая матрица , столбцами которой являются строки матрицы А.

Если А= ,то данные матрицы симметрические (т.е. = ).

Если А= - , то матрицы кососимметрические (т.е. = - , для любых i и j).

Если А· =Е, то матрицы ортогональные (т.е. )

Умножение матриц

Не любые матрицы можно умножать.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрица С размерности , элементы которой удовлетворяют следующему равенству: .

Иначе говоря, для умножения матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Пример 1.6: Матрицы и нельзя умножать.

Рассмотрим произведение двух других матриц: Можно выделить ряд свойств, связанных с умножением матриц:

1. А·В В·А;

2. (А·В)·k=(A· k)· B=A·(B·k);

3. (A+B)·C=A·C+B·C;

4. A·(B+C)=A·B+A·C;

5. (A·B)·C=A·(B·C).

Если же А·В=В·А, томатрицы А и В называются перестановочными.

Определитель матрицы, свойства определителей

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А n -го порядка (или определителем n -го порядка) называется число, которое обозначается через det A, А или | A |, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n множителей (элементов матрицы), взятых по одному и только одному из каждой строки и столбца, причем знак каждого множителя определяется четностью подстановки составленной из первых и вторых индексов, перемножаемых элементов:

где - знак перестановки, , где - число инверсий перестановки: .

Дадим понятие инверсии. В перестановке два числа и составляют инверсию, если i<j, но > .

Рассмотрим определитель второго порядка.

В данном случае имеется две перестановки:

и .

Рассмотрим определитель третьего порядка.

3!=1·2·3=6 Следовательно число инверсий равно шести.

, , ,

, , .

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле: (2.1)

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых. В каждое слагаемое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в (2.1), легко запомнить, пользуясь схемой (Рис.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса

(слева на Рис. 1 дано правило вычисления положительных членов определителя, а справа – отрицательных).

Пример 2.1:

Сосчитаем определители:

;

Свойства определителей:

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2. Определитель матрицы, содержащей нулевую строку (столбец), равен нулю.

3. Общий множитель элементов некоторой строки (столбца) матрицы можно вынести за знак определителя, если этот множитель не нулевой.

4. Если в матрице поменять местами две строки (столбца), то ее определитель изменит только знак.

5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Две строки (столбца) матрицы называются пропорциональными, если одна из них получается умножением другой на некоторое отличное от нуля число.

6. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.

7. Если к одной строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на некоторое число, то определитель матрицы не изменится.

Минором М_ij элемента a_ij матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Например, минором элемента a ₁₂ матрицы третьего порядка будет:

.

Каждая матрица n -го порядка имеет n ² миноров (n-1) порядка.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1) ^i+j:

A_ij=(-1)^i+j ·M_ij,

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличатся от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

Например, ; .

8. Теорема Лапласа Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i -ой строки; i=1;2;…;n),

(разложение по элементам j -го столбца; j=1;2;…;n).

Данное разложение часто используется для нахождения определителя матрицы 4-го порядка.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. .

Объединяя результат теоремы Лапласа и этого свойства, получаем:

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

11. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: |C|=|A|·|B|, где С=А·В; А и В – матрицы n-го порядка.

Системы линейных уравнений

Общий вид системы m уравнений с n неизвестными:

(3.1)

где - коэффициенты системы,

- свободные члены,

- неизвестные (переменные),

называется системой линейных уравнений.

Основной матрицей системы (3.1) называется

А = (3.2)

Расширенной матрицей системы называется

à = (3.3)

Набор чисел - называется решением системы, если при подстановке чисел в систему (3.1) вместо соответственно, каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Несовместная система уравнений решений не имеет.

Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и, соответственно, неопределенной – если она имеет несколько решений.

(3.4)

Система линейных уравнений называется однородной, если все его свободные члены равны нулю: b₁=b₂=_…=b_m=0. Такая система линейных уравнений (3.4) всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, одно, а именно – нулевое решение. Решить вопрос о количестве решений позволяет следующая

Теорема: Для того, чтобы однородная система (3.4) имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

Таким образом, если | A | 0, то это уравнение имеет единственное нулевое решение: . Если же | A |=0, то существует бесконечное множество других ненулевых решений.

Можно выделить два случая:

Если один из миноров определителя отличен от нуля, то решение системы можно представить с помощью следующих формул:

, (3.5)

где t ― любое число, а | А₁|, …, |А_n| ― алгебраические дополнения строки, не входящей в состав минора, отличного от нуля.

Если все миноры равны нулю, то все уравнения системы пропорциональны, и, следовательно, система уравнений сводится к одному уравнению, например: . Система имеет бесчисленное множество решений, которые можно легко найти, задавая произвольно одни переменные и выражая через них другие.

Пример 3.1: Найти решение следующей однородной системы:

Вычислим определитель данной системы: =-24 0. Следовательно, система имеет единственное нулевое решение: x=0, y=0, z=0.

Пример 3.2: Найти решение следующей однородной системы:

Определитель данной системы: =0, следовательно, система имеет ненулевые решения. Можно отметить, что миноры, содержащиеся в первых двух строчках, отличны от нуля, например, =-3-4=-7. Вычисляем алгебраическое дополнение третьей строки: , , .

По формуле (3.5) найдем все решения данной системы:

x=18t, y=-10t, z=-7t, где t ― любое число.

Пример 3.3: Найти решение следующей однородной системы:

Нетрудно подсчитать, что определитель данной системы и все его миноры равны нулю. Следовательно, в данной системе только одно независимое уравнение, а остальные два ему пропорциональны. Находя, например, из первого уравнения x (x=-2y-3z) при остальных y и z, получим решение данной системы. Общий вид решения можно записать так:

x= –2y-3z, y=h, z=k, где h и k ― произвольные числа.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одни и те же решения; т.е. любое решение одной системы является решением другой системы.

Рассмотрим систему (3.1) из m уравнений с n неизвестными.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие три операции:

Умножение обеих частей одного из уравнений на число, отличное от нуля.

Умножение обеих частей одного из уравнений на некоторое число и сложение обоих частей полученного уравнения с соответствующими частями другого уравнения системы.

Исключение или добавление в систему уравнений вида: .

Пример 3.4: Решить систему уравнений:

Обе части первого уравнения системы можно умножить на (или разделить на 2):

.

Следует отметить, что элементарные преобразования уравнений системы приводят к эквивалентным ей системам.

Далее, вместо второго уравнения системы запишем сумму первого и второго уравнений системы: , .

Пример 3.5: Решить систему уравнений:

(сложим первое и второе уравнения системы, результат запишем на месте второго уравнения) (сложим второе и третье уравнения системы и результат запишем на месте третьего уравнения системы) (все коэффициенты третьего уравнения системы равны нулю, поэтому, согласно третьему элементарному преобразованию его можно исключить из системы уравнений) .

Решая данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными, полученную в ходе элементарных преобразований из трех уравнений, можно легко найти, что

, , – любое число. Т.е. можно сказать, что система имеет бесконечное множество решений, т.е. эта система уравнений является совместной и неопределенной.

Правило Крамера

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными подобно системе (3.1). Рассмотрим матрицы:

А = и матрицы А₁, …, А_n, где матрица А_i получается из матрицы А заменой столбца с номером i на столбец свободных членов.

Например, А₁ = .

Составим определители матриц А, А₁, …, А_{n. .}

В зависимости от значений определителей можно выделить три случая:

Если | A | 0, то система совместна и имеет единственное решение. Это единственное решение находится по формулам:

. (4.1)

Эти формулы носят название формул Крамера, они применяют правило Крамера для решения системы n уравнений с n неизвестными.

Если | A |=0, но из | А|, |А₁|,…, |А_n| хотя бы одно отлично от нуля, тогда система несовместна.

Если | A |=0, и все | А|, |А₁|,…, |А_n| равны нулю, то одно из уравнений есть следствие другого, то есть уравнения пропорциональны. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, которые можно легко найти, задавая произвольно одни переменные и выражая через них другие.

Использовать правило Крамера к примеру 3.2 нельзя, так как в данном случае | A |=0, что противоречит необходимому условию для его применения. В данном примере и все | А|, |А₁|,…, |А_n| равны нулю, следовательно, система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4.1: Решить систему линейных уравнений методом Крамера: .

А = , А₁ = , А₂ = .

Исходя их этого, имеем: | A |=-2, | A₁ |=-4, | A₂ |=-2.

Теперь по правилу Крамера (4.1) можно найти решение данной системы:

Понятие «ранга матрицы» и «минора порядка k»

Рассмотрим матрицу А = и возьмем число . Выберем в этой матрице k строк и k столбцов. Составим матрицу, состоящую из элементов, стоящих на пересечении этих k строк и k столбцов.

Определитель этой матрицы называется минором порядка k исходной матрицы А. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Всего таких миноров можно составить штук, где ― число сочетаний из n элементов по k).

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r( A ) или rank A. Очевидно, что . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

У квадратной матрицы А = рассматривается минор порядка n.

Пример 5.1: Найти ранг матрицы: А =

Все миноры третьего порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля: =-15≠0, то r( A ) =2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Следует отметить свойства ранга матрицы:

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

замена местами двух строк;

умножение строки на число отличное от нуля;

умножение строки на число отличное от нуля и прибавление полученной строки к другой строке.

Данные преобразования также приемлемы к столбцам матрицы.

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными (3.1).

Основной матрицей системы является матрица вида (3.2),расширенной матрицей системы – (3.3).

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.