Метод стандартных коэффициентов

Метод стандартных коэффициентов не является универсальным. Однако он нашел широкое применение благодаря своей простоте.

В основу метода положена связь между переходной характеристикой h (t) и основной ПФ системы управления F(s). Вид переходной характеристики определяется значением нулей zm и полюсов pn основной ПФ системы. Для ряда типовых ПФ найдены " оптимальные " распределе­ния нулей и полюсов, обусловливающие наиболее благоприятные переходные характеристики h (t) с точки зрения динамики синтезируемой САР. Каждому такому оптимальному распределению нулей и полюсов соответствуют вполне определенные значения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя основной ПФ системы, которые называют стандартными.

Синтез САУ этим методом начинают с приведения основной ПФ системы (2.31)

к нормированному виду (форме Вышнеградского). Для этого аргумент ПФ s заменяют аргументом и делят ее числитель и знаменатель на . В результате получают нормированную ПФ (индекс аргумента "*" опущен):

где ; ; …; ; ;

; ; …; ;

– среднегеометрическое значение корней характеристического уравнения замкнутой САУ D (s) = 0.

Если САУ описывается уравнением второго порядка (n = 2), величина есть частота собственных колебаний системы.

Приведение ПФ системы F(s) к нормированному виду F(s *)изменяет длительность процесса регулирования с t рна tр. Безразмерное время регулирования tр, соответствующее нормированной ПФ, и реальное время t р, соответствующее исходной ПФ F(s), связаны следующим образом:

.

При этом величину принимают в качестве меры быстродействия системы управления: при одинаковом распределении полюсов и нулей нормированной ПФ время регулирования t рбудет тем меньше, чем больше .

Реальные САУ характеризуются небольшим порядком высшей производной числителя m. Поэтому стандартные коэффициенты определены для трех типовых нормированных ПФ:

1) не содержащих нулей (m = 0):

(3.16)

2) с одним нулем (m = 1):

(3.17)

3) с двумя нулями (m = 2):

(3.18)

Названные коэффициенты A 1– An -1обусловливают наименьшую длительность процесса регулирования t р. Обычно стандартные коэффициенты сводят в таблицы, в которых также указывают безразмерное время tрсоответственно порядку ПФ n.

Если САУ описывается первой типовой ПФ вида (3.16), т.е. не содержит нулей, наименьшей длительности переходного процесса (t р = t мин) достигают биномиальными коэффициентами A 1, A 2, …, An -1. В этом случае коэффициенты характеристического уравнения являются коэффициентами бинома Ньютона (s + 1) n. При биномиальных коэффициентах корни характеристического уравнения являются кратными (вещественными). Коэффициенты уравнений от первого (n = 1) до пятого (n = 5) порядка сведены в таблицу 3.1, которая содержит также соответственно безразмерное время регулирования tр. Переходные характеристики САУ с ПФ вида (3.16) и n = 1 ¸ 5 изображены на рисунке 3.17 и свидетельствуют об отсутствии перерегулирования, т.е. являются монотонными.

Процесс регулирования в САУ второго порядка (n = 2) названного качества достигается при коэффициенте демпфирования x = 1 (см. переходную характеристику 1 на рисунке 3.18).

Таблица 3.1 – Биномиальные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.16)
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр
	–	–	–	–			3,0
	–	–	–				4,7
	–	–					6,3
	–						7,8
							9,2

Если в процессе регулирова­ния допускается незначительное перерегулирование, т.е. переход­ная характеристика может быть апериодической, рекомендуется принять коэффициент демпфиро­вания x = 0,7 ¸ 0,8. Известно, что при таком демпфировании переходные процессы в системе второго и более высоких порядков затухают быстрее, чем в случае x = 1. В результате длительность процесса регулирования будет меньше (см. переходную характе­ристику 2 на рисунке 3.18). Кратность корней характеристи­ческого уравнения утрачивается, поскольку они становятся ком­плексными. Все комплексные кор­ни (и один вещественный при нечетном n) располагаются на одинаковом расстоянии h от оси мнимых чисел. Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью g и пер­вым членом прогрессии также g.

Установлено оптимальное отношение m = g/h, которое обусловливает наименьшее безразмерное время регулирования tрсреди трех названных случаев. Соответствующие стандартные коэффициенты указаны в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Стандартные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.16), обеспечивающие минимальное время регулирования
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–	–	–			3,0	–
	–	–	–		1,38		4,4	5,0
	–	–		2,05	2,39		4,4	–
	–		2,6	3,80	2,80		4,6	4,73
		2,5	5,30	5,46	3,64		5,7	–

На рисунке 3.18 показаны эталонные переходные характеристики САУ с ПФ вида (3.16)

(3.19)

и стандартными коэффициентами соответственно

1) 1; A 1= 2,00; 1 (x = 1);

2) 1; A 1= 1,50; 1 (x = 0,75);

3) 1; A 1= 1,38; 1 (x = 0,69).

При синтезе АР стандартные коэффициенты используют следующим образом. Если синтезируемая САР (рисунок 3.19) содержит, например, П‑регулятор, то выбору подлежит коэффициент усиления регулятора K АР.

В первую очередь определяют ПФ разомкнутой системы по (2.27)

и основную ПФ системы по (2.32)

Полученную основную ПФ системы нормируют следующим образом:

Поскольку ПФ не содержит нулей (m = 0), эталонной функцией является типовая ПФ вида (3.19) при n = 2

Для определения неизвестного коэффициента K АРсравнивают коэффициенты характеристических полиномов двух основных ПФ F(s) и Fэ(s) и получают систему алгебраических уравнений

На этом этапе синтеза АР система уравнений кроме K АРсодержит еще два неизвестных A 1и W0. Коэффициент A 1должен иметь стандартное значение. Его выбирают по таблицам стандартных коэффициентов в зависимости от принятой эталонной переходной характеристики (рисунок 3.18). Эталонную характеристику h э(t) выбирают, в свою очередь, в соответствии с технологическим регламентом. Второе неизвестное рассчитывают, используя первое уравнение системы, по формуле

Затем определяют искомый коэффициент усиления П-регулятора

Если технологическим регламентом ограничена длительность процесса регулирования t р £ tmax, необходимо рассчитать действительное время регулирования t ри убедиться в выполнении требования регламента. Для этого сначала определяют безразмерное время регулирования tрпо таблицам или по эталонной переходной характеристике h э(t) (рисунок 3.18). Затем вычисляют действительное время регулирования t рпо формуле

В частности, если в рассматриваемом примере параметризации П‑регулятора (рисунок 3.19) в качестве эталонного принять монотонный процесс регулирования (переходная характеристика 1 на рисунке 3.18) и биномиальные коэффициенты, то в соответствии с таблицей 3.1 эталонная ПФ системы принимает вид

Если ОР характеризуется следующими параметрами K ОР = 0,1 и T ОР = 5, то частота собственных колебаний САР

Окончательно искомый коэффициент усиления П-регулятора

Действительное время регулирования при tр= 4,8 (см. таблицу 3.1)

Рассмотренные комбинации стандартных коэффициентов, связанные с кратным или близким к нему распределением корней характеристи­ческого уравнения САУ, эффективны при параметрической оптимизации систем, ПФ которых не имеют нулей. В противном случае процесс регулирования сопровождается заметным перерегулированием (s > 5 %). Для недопущения этого предложены другие комбинации стандартных коэффициентов, которым соответствует иное расположение корней характеристического уравнения САУ.

В случае САУ с основной ПФ типа (3.17) с одним нулем (m = 1) корни характеристического уравнения рекомендуется располагать на отрицатель­ной вещественной полуоси в арифметической прогрессии. Коэффициенты характеристического полинома типовой ПФ вида (3.17) указаны в таблице 3.3.

Таблица 3.3 – Стандартные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.17)
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–	–	–			3,0	–
	–	–	–		2,50		3,8	9,92
	–	–		5,10	6,35		7,5	9,83
	–		7,22	16,30	11,83		12,7	9,75
		9,00	29,00	38,00	18,00		> 16	10,2

Примером названной САУ становится рассмотренная в предыдущем примере система при изменении простейшего пропорционального закона регулирования на изодромное (рисунок 3.20).

При использовании ПИ‑регулятора ПФ системы имеет вид

,

.

Основная ПФ в нормированном виде

содержит только один ноль (m = 1). Поэтому эталонной является типовая ПФ вида (3.17) при (n = 3)

Сравнивая коэффициенты характеристических полиномов основных ПФ F(s) и Fэ(s), получают систему алгебраических уравнений

Согласно таблице 3.3 стандартные коэффициенты равны A 1 = 6,35 и A 2 = 5,10. Поскольку ОР сохраняет свои параметры без изменения, из первого уравнения этой системы следует, что

С помощью двух других алгебраических уравнений определяют искомые параметры настройки ПИ-регулятора

Действительное время регулирования

Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором показана на рисунке 3.21.

В случае САУ с основной ПФ типа (3.18) с двумя нулями (m = 2) корни характеристического уравнения рекомендуется располагать на отрицательной вещественной полуоси в геометрической прогрессии. Коэффициенты характеристического полинома ПФ вида (3.18) представлены в таблице 3.4.

Кроме рассмотренных стандарт­ных коэффициентов типовых ПФ вида (3.16) – (3.18) известны иные коэффи­циенты и соответствующие им оптимальные переходные характерис­тики h э(t), полученные с помощью интегральных критериев (см. п. 2.4.5.4). Названные коэффициенты и характе­ристики широко применяют при синтезе следящих приводов.

Таблица 3.4 – Стандартные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.18)
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–		6,7	6,7		1,6	10,2
	–		7,9	15,0	7,9		4,4	20,9
			69,0	69,0	18,0		8,5	19,8

Минимизацией квадратичного функционала J 20получены стандарт­ные коэффициенты типовой ПФ вида (3.16), которые представлены в таблице 3.5.

Таблица 3.5 – Стандартные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.16), обеспечивающие минимум квадратичного функционала J 20
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–	–	–			3,0	–
	–	–	–				5,3	16,3
	–	–					8,7	7,26
	–						10,3	14,2
							12,5	11,5

Д.Грехем и Р.Летроп получили стандартные коэффициенты типовой ПФ вида (3.16) (таблица 3.6) при минимизации интеграла от абсолютного значения ошибки J 10.

Таблица 3.6 – Стандартные коэффициенты нормированной ПФ типа (3.16), обеспечивающие минимум квадратичного функционала J 10
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–	–	–			–	–
	–	–	–		1,40		2,9	4,60
	–	–		1,75	2,15		3,6	1,98
	–		2,10	3,40	2,70		4,3	1,92
		2,80	5,00	5,50	3,40		5,2	2,10

В таблице 3.7 представлены стандартные коэффициенты Баттерворта (идеальный фильтр), которые раньше других начали применять при оптимизации электроприводов.

Таблица 3.7 – Стандартные коэффициенты Баттерворта
n		A 4	A 3	A 2	A 1		tр	s
	–	–	–	–			–	–
	–	–	–		1,40		2,9	4,60
	–	–		2,00	2,00		6,0	8,14
	–		2,60	3,40	2,60		6,9	11,10
		3,24	5,24	5,24	3,24		7,6	12,70

Внешнее отличие названных коэффициентов проявляется их симметричным распределением подобно биномиальным коэффициен­там. Однако переходная характеристика САУ приобретает перерегулиро­вание и колебательностью превосходит аналогичные характеристики. Время регулирования, обусловленное коэффициентами Баттерворта, также самое большое среди рассмотренных ранее. Тем не менее в этом случае САУ обладает наиболее широкой полосой пропускания гармонических полезных сигналов при заданной статической ошибке регулирования. Другими словами, модуль АЧХ системы управления в широком диапазоне частот. Поэтому электроприводы, настроенные по Баттерворту, называют настроенными на модульный оптимум (см. п. 2.5.10).