Обратная функция

Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции).

Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х Î Х. Тогда для любого у ₀ Î Y найдется единственное значение х ₀ Î Х, такое, что у ₀ = f (х ₀). Этим определяется отображение Y на Х, т.е. функция х = φ (у), у Î Y. Такую функцию называют обратной для функции у = f (х), где х Î Х.

Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами.

Замечание 1. Если отображение у = f (х) не является инъективным, то обратной функции не существует.

Замечание 2. Если функция у = f (х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) на Y.

Пример 1. Функция у = х ² (х Î R) не имеет обратной, т.к., например, значениям х = 5 и х = – 5 соответствует одно и то же значение у = 25.

Пример 2. Функция у = 2 х – 1 (х Î R) возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулы у = 2 х – 1 выразить х. Получим х = .

Поменяем х и у местами. у = – искомая обратная функция.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.

2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?

3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?

4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.