![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Постоянная функция.
Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.
|
Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).
![]() |
х
2. Прямая пропорциональность.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,
заданная формулой у = k х, где k ¹ 0. Число k называют коэффициентом
пропорциональности.
Свойства функции у = k х
1) Область определения – множество всех действительных чисел.
2) Множество значений – множество всех действительных чисел.
3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = k ∙ (– х) = – k х = – f (х).
4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает.
5) Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой).
Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х 1; у 1), (х 2; у 2) – пары соответствующих значений, причем х 2 ¹ 0, то . Действительно, у 1 = k х 1, у 2 = k х 2. Т.к. х 2 ¹ 0, то у 2 ¹ 0. Тогда
.
Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз.
3. Обратная пропорциональность
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = , где k ¹ 0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства функции у =
1) Область определения: (- ; 0) È(0; +
)
2) Множество значений: R \ {0}.
3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = = –
= – f (х).
4) При k > 0 функция убывает на промежутке (- ; 0) È(0; +
), при k < 0 функция возрастает на промежутке (-
; 0) È(0; +
).
5) Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k < 0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.
Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х 1; у 1), (х 2; у 2) – пары соответствующих значений, причем х 2 ¹ 0, у 1 ¹ 0, то . Действительно, у 1 =
, у 2 =
. Тогда
.
Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз.
4. Линейная функция
Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где k и b – некоторые действительные числа.
Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х.
Свойства:
1) Область определения – все действительные числа.
2) Множество значений – все действительные числа.
3) Функция не является ни четной, ни нечетной.
4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.
5) Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.
Пусть даны две линейные функции у = k1 х + b 1 и у = k 2 х + b 2. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k1 ¹ k 2; параллельны, если k1 = k 2; совпадают, если k1 = k 2 и b 1 = b 2.
5. Квадратичная функция
Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах 2 + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а ¹ 0.
Рассмотрим частный случай у = ах 2. Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х 2, и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)
График функции у = ах 2 можно получить из графика функции у = ах 2 сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1.
Свойства функции у = ах 2 (а > 0):
1) Область определения – вся числовая прямая.
2) Множество значений [0; + )
3) Функция четная.
4) Убывает на (– ; 0), возрастает на (0; +
).
5) График – парабола, проходящая через точку (0; 0).
6) Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.
График функции у = – х 2 получают из параболы у = х 2 путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Рассмотрим функцию у = ах 2 + bx + с.
ах 2 + bx + с = а (х 2 + х +
) =
Получим формулу вида у = а (х – т)2 + п.
Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т = , п =
.
Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз.
Свойства квадратичной функции у = ах 2 + bx + с:
1) Область определения – вся числовая прямая.
2) Множество значений: при а > 0 – , при а < 0 –
3) Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.
4) При а > 0 убывает на (– ;
), возрастает на промежутке (
; +
); при а < 0 возрастает на промежутке (–
;
), убывает на промежутке (
; +
).
Примеры построения графиков квадратичных функций.
Первый способ.
Пусть требуется построить график функции у = х 2 + 4 х + 5.
Выполним преобразования: х 2 + 4 х + 5 =
(х 2 + 8 х + 10) =
(х 2 + 8 х + 16 + 10 – 16) = =
(х + 4)2 – 3.
Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О ´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у = х 2.
Можно было воспользоваться формулами: х 0 = =
= – 4; у 0 =
=
.
Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.
Пусть требуется построить график функции у = х 2 – 4 х + 5.
Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х 2 – 4 х + 5 = 5.
Имеем: х 2 – 4 х = 0; х (х – 4) = 0, откуда х 1 = 0; х 2 = 4.
Точки А (0; 5) и В (4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).
Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена.
Пусть х 1 и х 2 = корни квадратного трехчлена ах 2 + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А (х 1; 0) и В (х 2; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х 0 = .
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 696 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!