Виды функций

1. Постоянная функция.

Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

у = b

у

Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).

х

2. Прямая пропорциональность.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,

заданная формулой у = k х, где k ¹ 0. Число k называют коэффициентом

пропорциональности.

Свойства функции у = k х

1) Область определения – множество всех действительных чисел.

2) Множество значений – множество всех действительных чисел.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = k ∙ (– х) = – k х = – f (х).

4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает.

5) Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой).

Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х ₁; у ₁), (х ₂; у ₂) – пары соответствующих значений, причем х ₂ ¹ 0, то . Действительно, у ₁ = k х ₁, у ₂ = k х ₂. Т.к. х ₂ ¹ 0, то у ₂ ¹ 0. Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз.

3. Обратная пропорциональность

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = , где k ¹ 0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции у =

1) Область определения: (- ; 0) È(0; + )

2) Множество значений: R \ {0}.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = = – = – f (х).

4) При k > 0 функция убывает на промежутке (- ; 0) È(0; + ), при k < 0 функция возрастает на промежутке (- ; 0) È(0; + ).

5) Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k < 0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.

Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х ₁; у ₁), (х ₂; у ₂) – пары соответствующих значений, причем х ₂ ¹ 0, у ₁ ¹ 0, то . Действительно, у ₁ = , у ₂ = . Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз.

4. Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где k и b – некоторые действительные числа.

Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х.

Свойства:

1) Область определения – все действительные числа.

2) Множество значений – все действительные числа.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

5) Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пусть даны две линейные функции у = k₁ х + b ₁ и у = k ₂ х + b ₂. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k₁ ¹ k ₂; параллельны, если k₁ = k ₂; совпадают, если k₁ = k ₂ и b ₁ = b ₂.

5. Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах ² + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а ¹ 0.

Рассмотрим частный случай у = ах ². Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х ², и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)

График функции у = ах ² можно получить из графика функции у = ах ² сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1.

Свойства функции у = ах ² (а > 0):

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений [0; + )

3) Функция четная.

4) Убывает на (– ; 0), возрастает на (0; + ).

5) График – парабола, проходящая через точку (0; 0).

6) Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.

График функции у = – х ² получают из параболы у = х ² путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.

Рассмотрим функцию у = ах ² + bx + с.

ах ² + bx + с = а (х ² + х + ) =

Получим формулу вида у = а (х – т)² + п.

Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т = , п = .

Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз.

Свойства квадратичной функции у = ах ² + bx + с:

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений: при а > 0 – , при а < 0 –

3) Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При а > 0 убывает на (– ; ), возрастает на промежутке (; + ); при а < 0 возрастает на промежутке (– ; ), убывает на промежутке (; + ).

Примеры построения графиков квадратичных функций.

Первый способ.

Пусть требуется построить график функции у = х ² + 4 х + 5.

Выполним преобразования: х ² + 4 х + 5 = (х ² + 8 х + 10) = (х ² + 8 х + 16 + 10 – 16) = = (х + 4)² – 3.

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О ´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у = х ².

Можно было воспользоваться формулами: х ₀ = = = – 4; у ₀ = = .

Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.

Пусть требуется построить график функции у = х ² – 4 х + 5.

Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х ² – 4 х + 5 = 5.

Имеем: х ² – 4 х = 0; х (х – 4) = 0, откуда х ₁ = 0; х ₂ = 4.

Точки А (0; 5) и В (4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).

Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть х ₁ и х ₂ = корни квадратного трехчлена ах ² + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А (х ₁; 0) и В (х ₂; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х ₀ = .