Параболоиды

Определение 10.4. Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями

, (10.5)

, (10.6)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (10.5), называется эллиптическим. Сечения эллиптического параболоида, параллельные оси Oz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - эллипсы. Параболоид, определяемый уравнением (10.6), называется гиперболическим. Сечения гиперболического параболоида, параллельные плоскостям yOz и xOz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - гиперболы.

Замечание. В случае, когда p = q, эллиптический параболоид (10.5) является поверхностью вращения (вокруг оси Oz).

Пример. Определить вид поверхности

,

используя метод сечения плоскостями.

Решение. Уравнение поверхности не содержит членов с произведением координат, следовательно плоскости симметрий параллельны координатным плоскостям.

Пересекая поверхность плоскостями параллельными плоскости xOy, получим:

.

Так как для любого с, полученная кривая является гиперболой с действительной осью, параллельной оси Ox.

Пересекая поверхность плоскостями аналогично получаем уравнение

гиперболы с действительной осью, параллельной оси Ox.

При пересечении данной поверхности плоскостями , параллельными координатной плоскости yOz, получаем:

.

Последнее уравнение при ,т.е. при и , есть уравнение эллипса.

Таким образом сечениями поверхности плоскостями являются эллипсы и гиперболы, действительные оси которых параллельны. Следовательно, исследуемая поверхность ­- двуполостный гиперболоид. Его уравнение можно преобразовать к каноническому виду:

.