Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.
Обозначение: abc = [ ab ] c.
Свойства смешанного произведения.
1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.
Доказательство.
а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.
в) Если a,b,c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S·| c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.
Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].
Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.
2) Если a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то
abc = .
Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:
[ ab ] c = (YaZb – YbZa) Xc + (XbZa – XaZb) Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .
Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:
следовательно, векторы компланарны.
Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),
С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).
Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:
AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =
Cледовательно, объем пирамиды равен 18:6 =3.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 297 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!