Дифференциальные игры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальные игры — раздел математической теории управления, в котором изучается управление объектом в конфликтных ситуациях (см. теория игр). В дифференциальных играх возможности игроков описываются дифференциальными уравнениями или дифференциальными включениями, содержащими управляющие векторы, которыми распоряжаются игроки. Для выбора своего управления каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о поведении игроков. Различают дифференциальные игры двух игроков и многих игроков.

Наиболее исследованными являются дифференциальные игры преследования, в которых количество игроков равно 2, одного называют догоняющим, другого убегающим. Цель догоняющего — приведение вектора на заданное множество за возможно короткое время; цель убегающего — по возможности оттянуть момент прихода вектора на . Основополагающие результаты в дифференциальных играх получены в 60-е гг. 20 в. в СССР Л. С. Понтрягиным, Н. Н. Красовским, Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным и др., в США — Р. Айзексом, Л. Берковицем, У. Флемингом и др.

Первым, кто исследовал дифференциальные игры, стал Руфус Айзекс (работа 1951 года, впервые опубликована в 1965 году). А одна из первых проанализированных им игр стала игра «Шофёр-убийца» (homicidal chauffeur game). Надо отметить, что сам Айзекс вместо «шофёра» и «пешехода» подразумевал торпеду и увёртывающийся от неё небольшой катер.^[1]

Ссылки

• Дифференциальные игры в Большой советской энциклопедии

Литература

• Р.Айзекс. Дифференциальные игры. Москва, Мир, 1967.
• Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. Москва, Наука, 1974.
• Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. — М.: Мир, 1985.
• Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4

Игра преследования — антагонистическая дифференциальная игра преследователя (догоняющего) и преследуемого (убегающего) , движения которых описываются системами дифференциальных уравнений:

где — фазовые векторы, определяющие состояния игроков и соответственно; — управляющие параметры, выбираемые игроками в каждый момент времени из заданных компактных множеств евклидовых пространств. Целью может быть, например, сближение с на заданное расстояние, что формально означает попадание в -окрестность (). При этом различаются случаи сближения за минимальное время (игра преследования на быстродействие), к заданному моменту времени (игра преследования с предписанной продолжительностью) и до момента достижения игроком некоторого множества (игра с «линией жизни»). Сравнительно хорошо изучены игры с полной информацией, когда оба игрока знают фазовые состояния друг друга в каждый текущий момент времени. Под решением игры преследования понимается нахождение ситуации равновесия.

Литература