Пример. Перейдем к задаче на условный экстремум:

.

Перейдем к задаче на условный экстремум:

.

Введем функцию .

Функция Лагранжа имеет вид:

.

Найдем первые частные производные функции Лагранжа по и приравняем их к нулю:

Воспользовавшись формулой

, получим , .

Подставляя полученное выражение в бюджетное ограничение

, находим , ,

Итак, оптимальное решение , .

Замечание. Заметим, что задачу потребительского выбора можно решать и без использования метода множителей Лагранжа. Поскольку бюджетное ограничение является линейной функцией, можно выразить одну переменную через другую, подставить в функцию полезности, получить функцию полезности как функцию от одной переменной и далее искать ее экстремум.

Замечание. Решение сохраняется при любом монотонном, то есть сохраняющем порядок значений, преобразовании функции полезности. Поскольку значение было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таким же и после монотонного преобразования функции полезности. Таким монотонным преобразованием может быть, например, умножение функции на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы.

Замечание. Свойство 1. должно присутствовать у любой функции полезности, свойства 2. и 3. могут при монотонных преобразованиях теряться или приобретаться.

Замечание. Решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход умножаются на некоторое положительное число. Понятно, что при этом новое бюджетное неравенство эквивалентно исходному.