![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.
Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, то есть , где
– рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов, соответственно, а
- доход индивидуума. Величины
- заданы.
Формально задача потребительского выбора имеет вид:
.
Замечание. Допустимое множество представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимально возможным уровнем полезности. Графически отыскание этой точки можно описать, как переход на линии все более высокого уровня полезности до тех пор, пока эти линии имеют общие точки с допустимым множеством.
Замечание. Будем считать, что в оптимальной точке условия
выполняются автоматически, вытекая из определения функции
. Как правило, это действительно так. Поэтому не будем включать условие
в явном виде в постановку задачи, что существенно упростит ее с математической точки зрения.
Замечание. Рассмотрим бюджетное ограничение . Если на каком-то наборе
ограничение выполняется в виде строгого неравенства
, то можно увеличить потребление какого-либо из продуктов и, следовательно, увеличить функцию полезности. Отсюда ясно, что набор
, максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство.
Исходя из сделанных выше замечаний, заменим задачу потребительского выбора на задачу на условный экстремум:
при условии
.
Если выполнены свойства 1.1.-3.1. функции полезности, то, как было показано выше, линии безразличия убывают и выпуклы вниз. Поэтому точка максимума является точкой касания линии безразличия функции полезности и бюджетной прямой.
Рис. 3.1.1.
Найдем координаты точки максимума, используя метод множителей Лагранжа.
Введем функция .
Запишем функцию Лагранжа
и исследуем ее на безусловный экстремум. Необходимые условия экстремума – равенство нулю частных производных по .
Найдем первые частные производные функции Лагранжа по и приравняем их к нулю:
Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными переменную , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
и
:
Решение этой системы есть «укороченная» критическая точка функции Лагранжа, и она же является оптимальным решением задачи потребительского выбора.
Подставив оптимальное решение в первое равенство системы, получим
,
то есть в точке локального рыночного равновесия отношение предельных полезностей продуктов равно отношению рыночных цен на эти продукты.
Отношение равно предельной норме замещения первого продукта вторым, поэтому в точке локального рыночного равновесия эта предельная норма равна отношению рыночных цен
на продукты.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 1016 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!