Утверждение

, то есть геометрически эластичность убывающей выпуклой вниз функции равна отношению расстояний по касательной от точки С(x,y) до точек пересечения касательной с осями OY и OX, взятому со знаком минус.

Действительно, из треугольника ACX следует, что . Так как производная функции y=f(x) в точке С равна , то , кроме того ,и следовательно . Треугольники CBY и CAX подобны, поэтому , кроме того , следовательно . Итак .

Замечание. В случае выпуклой возрастающей функции эластичность по абсолютной величине также равна отношению . В общем случае знак эластичности для возрастающей или убывающей выпуклой функции будет определяться следующим образом. Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на касательной, то надо выбрать знак «+» (рис. 1.2.2., рис. 1.2.3.), если же по разные стороны от точки С, то знак минус (рис. 1.2.1.).

Рис. 1.2.2.

, так как .

Рис. 1.2.3.

, так как .