Одномерные статистические модели

Сущность и условия применения одномерной статистической модели.

Статистика – это обобщение и наглядное представление эмпирических данных большого объема с последующими выводами из этих данных Статистика позволяет распространить выводы, полученные по огромному числу наблюдений (выборке), на весь объект (совокупность).

Геологические исследования сводятся к выборочному изучению состава и свойств горных пород, минералов и полезных ископаемых, отобранных в отдельных участках земной коры. Каждое выборочное наблюдение относится к малому объему недр, а выводы, полученные по наблюдениям, распространяются на весь изучаемый объем.

Методы математической статистики обеспечивают возможность наилуч­шего использования выборочной информации для получения надежных резуль­татов и для определения степени надежности полученных выводов.

Для использования случайной величины в качестве статической модели свойств геологического объекта необходимо убедиться в том, что геологические наблюдения:

1. удовлетворяют условию массовости, обеспечивая возможность много­кратного повторения одного и того же комплекса условий;

2. могут быть представлены в виде схемы случайных событий;

3. могут быть выражены случайной величиной.

При проведении геологических расследований комплекс условий заключается в замерах значений изучаемых свойств в произвольно выбранных точках земных недр – это реализация условия случайных событий, а числовые значения наблю­даемых свойств – величины случайные, т.к. их нельзя предсказать заранее.

Комплекс реализуемых условий может быть повторен многократно – это условие массовости.

При использовании статистической модели для изучения закономерностей рас­пределения важнейших свойств геологического объекта отдельные участки недр упо­добляются генеральной статистической совокупности, в которой каждый такой уча­сток рассматривается как «случайная величина». Среднее значение свойств в объеме участка – математическое ожидание этой случайной величины.

В геологической практике одномерные статистические модели используются для решения двух типов задач:

- для оценки неизвестных параметров геологического объекта

- для статистической проверки гипотезы

Выборочной оценкой неизвестного параметра или его числовой характери­стики (, S², V) называется значение этого параметра, вычисленное на основании выборочных данных. В задачу математической статистики входит выбор такого ме­тода вычисления оценки, который обеспечил бы приближение ее к оцениваемому па­раметру, а также определение степени надежности полученной оценки.

Статистические гипотезы проверяют правдоподобность выводов о законо­мерностях, полученных на основе анализа выборочных данных.

Основные понятия теории вероятности.

В основе статистического моделирования лежит понятие о вероятности слу­чайного события.

Случайная величина, это переменная, принимающая в результате испытания то или иное заранее неизвестное значение.

Вероятность – это число, равное отношению числа благоприятных событий, к числу всех равновозможных событий, получающихся в результате данных испыта­ний.

Вероятность достоверного события = 1, а вероятность невозможного события = 0

Таким образом, вероятность случайного события выражается числом, лежа­щим в пределах от 0 до 1.

Случайные величины бывают прерывистыми (дискретными) и непре­рывными

Примером дискретных случайных величин – количество зерен определен­ного минерала при изучении шлифов под микроскопом; количество скважин, коли­чество отобранных проб и т.д.

Примером непрерывной случайной величины - содержание Pb в рудах по­лиметаллических месторождений, или любого другого металла в руде.

Число появлений события в серии испытаний называется его частотой, а от­ношение числа появлений события к общему числу опытов в серии – его частно­стью.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу­чайной величины и соответствующими им вероятностями, называются законом или функцией.

Функция распределения представляет собой наиболее полную характери­стику случайной величины, т.к. устанавливает связь между возможными значе­ниями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Интегральная функция распределения F(х) выражает вероятность того, что выборочное значение случайных величин меньше некоторого предела, ограничен­ного x, где x – заданная переменная, т.е. вероятность события - x.

Дифференциальна функция распределения (функция плотности распределе­ния) f (х) характеризует вероятность попадания выборочного значения случайной величины в заданный интервал от x до x + x

Интегральная и дифференциальная функции распределения связаны отноше­нием:

F(х) = , причем = 1

Функции F(х) и f(х) можно изобразить графически.

F(х)

x

Интегральная кривая – кривая накопления.

f(х)

x

Дифференциальная кривая – кривая плотности вероятности.

Наиболее существенные особенности распределения могут быть выражены с помощью числовых характеристик положения и рассеивания.

К важнейшим характеристикам положения относятся:

математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана.

1. Математическое ожидание (Мх) - среднее значение случайной величины.

МХ() = Рi xi, если Х() дискретна

МХ() = хf(х) dх, если Х() = непрерывна

=

2. Мода (Мo) – наиболее часто встечаемое содержание в пробах исследуемой выборки.

3. Медиана (Ме) – средняя точка распределения, т.е. такое значение, для ко­торого вероятности (Р) встречи больших и меньших значений в выборе равны

Р ( Ме) = P ( > Ме).

f(х)

Мо, Ме, Мх Lод норм. распред.

x

Мо Мx Ме

Главной характеристиой рассеяния случайных величин служит централь­ный момент второго порядка – т. е. дисперсия.

Дисперсия - мера рассеяния или отклонения значений случайной величины от ее среднего.

1) для дискретных случ. величин

2) для непрерывных случ. величин

Производными характеристиками от дисперсии является стандарт (среднее квадратичное отклонение) и коэффициент вариации:

Стандарт случайной величины – корень квадратный из дисперсии.

Коэффициент вариации - стандартное отклонение выраженное в единицах среднего.

Для характеристики степени асссиметрии распределения случайной вели­чины относительно ее математического ожидания используется центральный мо­мент третьего порядка:

, для дискретных случ. величин

; для непрерывных случ. величин

;

Для симметричного распределения значение третьего центрального момента = 0.

Если распределение ассиметрично, то его значение отличается от нуля в по­ложительную сторону или отрицательную сторону тем сильнее, чем больше выра­жена асимметрия.

Коэффициентом асимметрии называют безразмерную величину:

;

Если А > 0 - положительная асммметрия

Если А < 0 отрицательная асимметрия

f(х)

- +

x

Для кривой нормального распределения А = 0 т.к.

Для характеристики большего или меньшего подъема или понижения графика кривой распределения, по сравнению с нормальной кривой, используется показатель - эксцесса (Е).

Для определения Е используется центральный момент четвертого порядка:

;

Для нормального распределения величины

Эксцесса (Е) вычисляется по формуле:

f(х) +

-

x

Кривые, более островершин, по сравнению с нормальными имеют положение (+), а более пологие – отрицательные (-) Е.