Построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника

Задача 2.

Даны два отрезка a и b. Постройте отрезок: а) x = ; б) x = ; в) x = .

Решение. Первые два построения основаны на теореме Пифагора.

а) x - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.

б) x - катет прямоугольного треугольника, у которого другой катет равен b, а гипотенуза равна a.

в) Здесь можно предложить построение, основанное на соотношении между высотой прямоугольного треугольника и отрезками гипотенузы: если a и b - отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, то высота как раз и равна . Теперь построение понятно. Строим отрезок a + b. Затем на этом отрезке, как на диаметре, строим полуокружность, и из точки, разделяющей отрезки a и b, проводим перпендикуляр к диаметру до пересечения с полуокружность. Получившийся отрезок этого перпендикуляра и будет искомым, поскольку, как мы знаем, угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Можно было бы исходить и из других соотношений в прямоугольном треугольнике.

В связи с последним построением сделаем одно замечание. Величина называется средним арифметическим a и b, а величина - средним геометрическим. Из нашего построения следует известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел: ³ . Оно следует из того, что любая хорда окружности не превосходит ее диаметра. t

Рассмотрим одну задачу, чтобы показать, как эти элементарные построения позволят делать более сложные построения.