Дополнительная информация. Правила построения логических выражений

Правила построения логических выражений

Логическая функция — это функция логических переменных X₁, X₂, X₃,..., X_N:

которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).

Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно S = 2 ^N, где N — количество переменных.

Для каждого набора функция может принимать два значения, поэтому количество различных функций N переменных равно 2 ^S. Приведём пример различных функций при N = 2. В этом случае S = 2² = 4, а количество разных функций равно 2⁴ = 16.

Логическое выражение строится по правилам:

1. всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;

2. если А — выражение, то А — выражение;

3. если А и В — выражения, то (А & В), (А ∨ В), (A ⊕ B), (А → В), (А ↔ В) — выражения.

В соответствии с этими правилами А & В ∨ А & В — выражение, А & ∨ В — не выражение.

Логическое выражение строится по правилам:

1.всякая логическая переменная, а также логические константы«истина» и «ложь» есть выражение;

2.если А — выражение, то А — выражение;

3.если А и В — выражения, то (А & В), (А ∨ В), (A ⊕ B), (А → В), (А ↔ В) — выражения.

В соответствии с этими правилами А & В ∨ А & В — выражение, А & ∨ В — не выражение.

В логических выражениях операции выполняются в соответствии с их приоритетами:

1. отрицание;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция, исключающая дизъюнкция (исключающее ИЛИ);
4. импликация, эквиваленция.

Самый высокий приоритет имеет операция отрицания, она выполняется в первую очередь. Далее, как и в арифметике, логическое умножение, затем логическое сложение. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.Например, при вычислении двух выражений последовательность выполнения операций будет следующей:

Если А = 1, В = 0, то результат вычисления первого выражения будет равен 1 (истина), второго — 0 (ложь).

Операции импликации, исключающего ИЛИ, эквиваленции можно выразить через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию — по формулам:

Именно по этой причине операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции называют основными: этих трёх операций достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические выражения

На самом деле описать и обработать логические выражения можно, используя и другие наборы основных операций, но при изучении информатики в школе они не рассматриваются.

.

Логические выражения, у которых для всех наборов входящих в них переменных значения в таблицах истинности совпадают, называются равносильными или эквивалентными. Равносильность выражений обозначается знаком равенства «=».

Логические выражения, принимающие значение «истина» при некоторых наборах входящих в них переменных и значение «ложь» при других наборах, называются выполнимыми. Пример: А ∨ В.

Логические выражения, принимающие значение «истина» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-истинными выражениями или тавтологиями. Пример: А ∨ А.

Логические выражения, принимающие значение «ложь» при любых значениях входящих в них переменных, называются тождественно-ложными выражениями или противоречиями. Пример: А & А.